• ベストアンサー

偏微分の変形が分かりません。

偏微分の変形が分かりません。 int_[-r]^[r] { f(√(r^2-y^2), y) - f(-√(r^2-y^2), y) } dy = r int_[0]^[2pi] f(r*cosθ,r*sinθ)cosθdθ を示したいです。 y = r*sinθ(0≦r≦1,0≦θ≦2pi) と極形式に変換したのですが、 f(-√(r^2-y^2), y) 部分が消えずに困っています。 分かる方いらっしゃいますか?

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • rabbit_cat
  • ベストアンサー率40% (829/2062)
回答No.1

> y = r*sinθ(0≦r≦1,0≦θ≦2pi) まず、y=r*sinθとして、r≦y≦r の範囲を置換したんなら、積分範囲は0≦θ≦2πではなくて、例えば、-π/2≦θ≦π/2 ですね。 で、そのとき、 f(√(r^2-y^2), y) = f(|r*cosθ|, r*sinθ) f(-√(r^2-y^2), y) = f(-|r*cosθ|, r*sinθ) です。(絶対値がついていることに注意) で、ここから、|r*cosθ| と、-|r*cosθ| てのを見比べながら、ちょっと考えをめぐらすと、うまいこと、絶対値をとって、その分、積分範囲が一周分(0≦θ≦2π) になって、 int_[-r]^[r] { f(√(r^2-y^2), y) - f(-√(r^2-y^2), y) } dy = r int_[-π/2]^[π/2] { f(√(|r*cosθ|, r*sinθ) - f(-|r*cosθ|, r*sinθ) } cosθdθ = r int_[0]^[2pi] f(r*cosθ,r*sinθ)cosθdθ となるということがわかります。 (ちゃんとした途中式は考えてください)

vandermonde
質問者

お礼

分かりました。 途中式も埋めることができました。 ありがとうございました!

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • 微分と偏微分の問題です

    次の問題が与えられています。 x=a*sin^3t , y=a*cos^3tのとき、dy/dx,d^2y/dx^2、∂y/∂x,∂^2y/∂x^2を求めよ。 まず、微分の方なのですが、xとyをtで微分し、そこから式を進めて、 dy/dx = - sin^3t/cos^3t = -tan^3t が求まりました。 そして、 d^2y/dx^2 = - 1/a*cos^9t が求まりました。 これについて、まず、本当に正しいのかを添削してください。 間違っていましたら、ご解説をお願いします。 そして、偏微分についてですが、これはどのように回答していくのが正しいのでしょうか。 偏微分をよく知らないこともあり、どうやって回答していくべきか悩んでいます。 ご解説をお願いします。 以上、よろしくお願いします。

  • 合成関数を2回偏微分するやり方?がわかりません;;

    y=r * sinθ x=r * cosθ とすると 合成関数の偏微分法から ∂f/∂r=cosθ*(∂f/∂x) + sinθ*(∂f/∂y) となります。 もう一回微分して ∂^2f/∂r^2= cos^2θ*(∂^2f/∂x^2) + sin^2θ* (∂^2f/∂y^2)+ 2sinθcosθ(∂^2f/∂x∂y) になります。 なんで 2回微分したときに cos^2θ とか sin^2θ とか出てくるんですか?  よくわからないので くわしくおしえてほしいです;;

  • 微分と偏微分の問題です

    次の問題が与えられています。 x=a*sin^3t , y=a*cos^3tのとき、dy/dx,d^2y/dx^2、∂y/∂x,∂^2y/∂x^2を求めよ。 まず、微分の方なのですが、xとyをtで微分し、そこから式を進めて、 dy/dx =-1/(sin^2 t) が求まりました。 そして、 d^2y/dx^2 = - 1/3a*cost が求まりました。 これについて、まず、本当に正しいのかを添削してください。 間違っていましたら、ご解説をお願いします。 そして、偏微分についてですが、これはどのように回答していのが正しいのでしょうか。 「偏微分は微分と同じ答えになるので……」と、簡単に書いてしまって良いモノか悩んでいます。 以上、よろしくお願いします。

  • 微分方程式の微分演算子による解法

    来月上旬に大学院入試を受けるので、それに向けて現在勉強中です。 微分方程式で分からない問題があったので教えてください。 特に微分演算子を用いた解法に従って解く方法を教えていただければと思います。 (それ以外の解き方も参考になるので教えていただけたら助かります。) 問題は (1) (D^4+2D^2+1)y=x*sin(x) (2) y'''-2y'+4y=(e^x)*cos(x) Dy=y'=dy/dxです。 私の持っている本では、定係数非同次線形常微分方程式をΦ(D)y=f(x)と表したときに、Φ(D)が既約実2次式を持つ場合、非同次項f(x)が ・多項式 ・e^(ax) ・cos(ax) ・sin(ax) の場合のみについて解説してあり、上記のような項についての計算がわからなかったので質問させていただきました。

  • 微分方程式の解き方

    dx/dt = x - (x + y)(x^2+y^2)^(1/2) dy/dt = y - (x - y)(x^2+y^2)^(1/2) という微分方程式があります。 この方程式の解を厳密に求めることはできないようですが、 (x^2+y^2)^(1/2) = r x = r cosθ y = r sinθ と置くことにより、上記の微分方程式の答えが、 dθ/dt = r dr/dt = r(1-r) を満たすことが分かるそうです。 ところで、上の微分方程式からどうやってこれを導くのでしょうか?勘でしょうか?

  • 三角関数微分の問題です

    ===================================================== 【問題】 (1) x=a(t-sin t) y=a(1-cos t)  (a>0)  (0 <= t <= 2π)   dy/dxを求めよ。 (2) y=f(x)=sin(α arcsin x)   f^(n) (0)を求めよ。     ↑    f(0)をn回微分したもの  ======================================================== という問題で、(1)はなんとか解けたと思うのですが、(2)が行き詰ってしまいました。私の回答を載せさせてもらいますので、ご指摘や模範解答のほう宜しくお願いします。 =========================================================== 【自分の回答】 (1) dx/dt=a(1-cos t),dy/dt=a*sin t ∴dy/dx=(a*sin t)/{a(1-cos t)}=(sin t) /(1-cos t) (2) y'=1 / √(1- α^2 * sin^-2 x)=(sin x)/ √(sin^2 x - α^2) ∴y'*√(sin^2 x - α^2)/(sin x)=1 両辺をxについて微分し両辺√(sin^2 x - α^2)を掛けて整理すると、 y"*sin x +y'*α^2 * (cos x) / (sin x) =0 ⇒(1/α^2)* y" *(sin^2 x) /(cos x)+ y'=0 **************************************************** ここでライプニッツの定理や数学的帰納法を使って計算していくのですが、 f'(0),f"(0),f^(3) (0),..........といった感じに出来ません。 **************************************************** ===========================================================

  • 微分の計算(記号の使い方)

    f(x)の逆関数をg(x)とする。f(1)=2、f‘(1)=2、f‘‘(1)=3のとき、g‘‘(2)の値をもとめよ。 y=g(x)とすると、f(x)はg(x)の逆関数だから、x=f(y)ゆえに、dx/dy=f‘(y)。 よって、g‘(x)=dy/dx=1/f`(y) g‘‘(x)=(d/dx)(g`(x))=(d/dy)(1/f`(y))(dy/dx) (疑問) 私はg‘‘(x)=(d/dx)(g`(x))=(d/dy)(1/f`(y))(dy/dx)の部分で、(d/dy)(1/f`(y))(dy/dx)=(d/dy)(1/(f`(y))^2)としてしまいました。 (d/dyをdy/dxにも適用してしまった)調べたところ、d/dyは直後の関数のみに適用するそうです。そうすると、(d/dy)(1/f`(y))(dy/dx)の変形のところで、私は分数のように考えてこの式へ変形したのですが、dy/dxは1/f`(y)の直後に書かなくてはならないですよね?(分数といっても交換して(d/dy)(dy/dx)(1/f`(y))のようにしてはダメ。) 合成関数の微分法で、分数のように変形する場合は直後に付け加えていくということでしょうか?

  • 方向微分

    ω=f(x、y、z)上の点(x0、y0、z0)における(cosα、cosβ、cosγ)方向への方向微分を求めよ。 (ただしベクトル(cosα、cosβ、cosγ)はx軸、y軸、z軸とのなす角がそれぞれα、β、γであるような単位ベクトル(方向余弦)である) 問題は以上です。 私の解いた回答は ω=f(x、y、z)を一次化するとdω=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy+(∂f/∂z)dz 点(x0、y0、z0)からの方向微分なので dω=∂f/∂x(x0、y0、z0)dx+∂f/∂y(x0、y0、z0)dy+∂f/∂z(x0、y0、z0)dz となる。 よって (cosα、cosβ、cosγ)方向への方向微分= {∂f/∂x(x0、y0、z0)cosα+∂f/∂y(x0、y0、z0)cosβ+∂f/∂z(x0、y0、z0)cosγ}/√cos^2α+cos^2β+cos^2γ なのですがうまくまとまらず、もっときれいな形になるのではないかと思うのですが・・・。 どなたかアドバイスをお願いします。

  • 微分・積分について

    f(t) = 10 sin omega*t f(t) = 15 cos omega*t f(t) = 20 sin (omega*t + pi/4) f(t) = 20 sin (omega*t - pi/4) f(t) = 30 cos (omega*t + pi/4) 上記関数それぞれを微分・積分する方法を教えてください。

  • 式の変形ができません。

    フィルタ補正逆投影法というのを授業でやったんですが、その中で出てくる式の変形ができません。 f(x,y)=∫[0 - π] ∫[0 - ∞] F(ρcosθ,ρsinθ)exp{j2π(xcosθ+ycosθ)ρ}ρ dρdθ + ∫[0 - π] ∫[0 - ∞] F(ρcos(θ+π),ρsin(θ+π))exp{j2π(xcos(θ+π)+ycos(θ+π))ρ}ρ dρdθ が、F(ρ,θ+π)=F(-ρ,θ)となることを考えると f(x,y)=∫[0 - π] [ ∫[0 - ∞] G(ρ)|ρ|exp(j2πρr)dρ]dθ ただし、 G(ρ)=∫[0 - ∞] ρ(r,θ)exp(-j2πρr)drとする。 というのがあります。途中の経過式がわからずどのようにして求めたのか気になるのでアドバイスおねがいします。 あと、式が長くてすいません。