ここに黒い宇宙生物がいます。この生物は分裂すると2匹の黒い生物になるか

質問

ここに黒い宇宙生物がいます。この生物は分裂すると2匹の黒い生物になるか、2匹の白い生物のどちらかになります。白い生物になると死んでしまいます。分裂して黒い生物2匹になる確率は60％で、白い生物2匹になる確立は40％です。さて、なんども分裂して増えていくうち、最終的に黒い生物が生き残れる（2匹以上残る）確立は何％でしょうか？
この問題解る人いますか？考えれば考えるほど難しくて解りません。
統計ソフトの「R」使って計算させる方法でもOKです。どうかよろしくお願いいたします。

回答No.3

Ginzang · ベストアンサー

No.1の者だが、No.2への補足について。

q=1 というのは、「絶滅する確率が1」、つまり、生存確率は0ということである。

もうちょっと丁寧に書くとこうなる。
今、黒1匹が分裂時に黒2匹になる確率を a とすると、確率を求める方程式は
q = (1-a) + a*q^2
であり、これの2根は
q = (1-a)/a, 1
となる。
よって、解として適切な方は、
0 <= a <= 1/2 のとき、q=1（よって100%確実に絶滅）
1/2 < a <= 1 のとき、q=(1-a)/a（よって (2a-1)/a の確率で生存）
となる。

元々の問題は a=3/5 だったので、q=(1-a)/a に代入して q=2/3 となった。

お礼

丁寧に教えていただき有難うございました！
なぜこの式で出せるのかは、まだ理解できていませんが、 (2a-1)/a に代入すると適切な確率が出るようです。じっくり考えてみます。
今回はとても助かりました。また教えていただけると嬉しいです。

回答No.2

nag0720

＞p = (3/5) (2p - p^2)で回答1/3との事ですが、右辺のpに0.33代入しても0.00066となって、
＞左辺と一致しませんでした。どこか理解や計算間違っているでしょうか？

右辺のpに0.33を代入すれば、0.33066になりますよ。
(3/5) (2p - p^2) - p　を計算していませんか？

同じ考え方ですが、生き残れる確率よりも絶滅する確率を求めるほうが分かりやすいかもしれません。

ある１匹の黒い生物が絶滅する確率qは、
（白い生物に分裂する確率）＋（黒い生物に分裂したあとに２匹とも絶滅する確率）
なので、
q=(2/5)+(3/5)*q^2
これを解けば、q=2/3
よって、生き残れる確率は、1/3になります。

補足

またまた、丁寧にお教えいただき有難うございます。私の計算が間違っていたのは分りました。
しかし、なぜこの式で答えが出るのかまだ理解できません。
例えば、黒になる率を0.4で、白になる率を0.6にして、黒になる率を悪くして上記式に値を入れ替えて計算すると、
q =(3/5)+(2/5)*q^2となって、計算するとq = 1？になるのですが、黒になる率が悪くなっているのに生存確率100％？？になるのでしょうか？
すいませんが、あと少しお付き合いお願い致します。

回答No.1

Ginzang

求める確率をpとする。

すると、1回めの分裂で全滅しない（黒2匹に分裂する）確率は3/5。
そしてこのときに残った黒2匹が共に絶滅する確率は(1-p)^2なので、どちらかが残る確率は
1-(1-p)^2 = 2p - p^2
である。
よって、もともと求めたかった確率は、
(3/5) (2p - p^2)
である。

これが p と等しいので、
p = (3/5) (2p - p^2)
となり、これを解けば p=1/3 となる。

これでよいと思うが・・・。

補足

ご回答有難うございます！
一生懸命理解しようとおもったのですが、よく解らないので引き続きお教えください。
p = (3/5) (2p - p^2)で回答1/3との事ですが、右辺のpに0.33代入しても0.00066となって、
左辺と一致しませんでした。どこか理解や計算間違っているでしょうか？
よろしくお願いいたします。