次の関数ｆ（ｘ）のｎ階微分のｘ＝０における値ｆ＾（ｎ）（０）＝ｄ＾ｎｆ

質問

次の関数ｆ（ｘ）のｎ階微分のｘ＝０における値ｆ＾（ｎ）（０）＝ｄ＾ｎｆ（ｘ）／ｄｘ＾ｎを求めよ。どうしてそうなのかも説明せよ。
(1)ｆ（ｘ）＝e＾ｘ
(2)ｆ（ｘ）＝sin（ｘ）
(3)ｆ（ｘ）＝cos（ｘ）
(4)ｆ（ｘ）＝sqrt（１＋ｎ）
(5)ｆ（ｘ）＝arctan（ｘ）
これをｆ＾ｎ（０）で微分すると(1)１(2)０(3)１(4)１(5)０でよいのでしょうか？
答えも今ひとつ自信はないのですが、これを説明するとするとどうしたらよいのかわかりません。教えてください。

回答No.9

muturajcp · ベストアンサー

f(x)=Σ_{n=0～∞}(a_n)(x^n)/(n!)=a_0+Σ_{n=1～∞}(a_n)(x^n)/(n!)
ならば
すべての整数n≧0に対して
f^n(x)=a_n+Σ_{k=1～∞}(a_{n+k})(x^k)/(k!)
f^n(0)=a_n
が成り立つことを帰納法で示す。
n=0のとき
f(x)=a_0+Σ_{n=1～∞}(a_n)(x^n)/(n!)
f(0)=a_0
で成立
ある整数n≧0に対して
f^n(x)=a_n+Σ_{k=1～∞}(a_{n+k})(x^k)/(k!)
f^n(0)=a_n
を仮定すると
f^{n+1}(x)=Σ_{k=1～∞}(a_{n+k})(x^{k-1})/((k-1)!)
=a_{n+1}+Σ_{k=1～∞}(a_{n+1+k})(x^k)/(k!)
f^{n+1}(0)=a_{n+1}
n+1のときも成立するから
すべての整数n≧0に対して
f^n(0)=a_n
が成り立つ
(1)
f(x)=e^x=Σ_{n=0～∞}x^n/(n!)→f^n(0)=1
(2)
f(x)=sin(x)=(e^{ix}-e^{-ix})/(2i)
=(Σ_{n=0～∞}(ix)^n/(n!)-Σ_{n=0～∞}(-ix)^n/(n!))/(2i)
=Σ_{n=0～∞}{(i^n-(-i)^n)/(2i)}x^n/(n!)
f^n(0)=(i^n-(-i)^n)/(2i)=(-i^{n+1}-(-i)^{n+1})/2
f^{2k-1}(0)=(-i^{2k}-(-i)^{2k})/2=(-1)^{k+1}
f^{2k}(0)=(-i^{2k+1}-(-i)^{2k+1})/2=(-i(-1)^k-(-i)(-1)^k)/2=0
(3)
f(x)=cos(x)=(e^{ix}+e^{-ix})/2
=(Σ_{n=0～∞}(ix)^n/(n!)+Σ_{n=0～∞}(-ix)^n/(n!))/2
=Σ_{n=0～∞}{(i^n+(-i)^n)/2}x^n/(n!)
f^n(0)=(i^n+(-i)^n)/2
f^{2k-1}=(i^{2k-1}+(-i)^{2k-1})/2=(i(-1)^k+(-i)(-1)^k)/2=0
f^{2k}=(i^{2k}+(-i)^{2k})/2=(-1)^k
(4)
f(x)=√(1+x)=(1+x)^{1/2}
f'(x)=(1/2)(1+x)^{-1/2}
f''(x)=(1/2)(-1/2)(1+x)^{-3/2}
f^n(x)=(Π_{k=1～n}((1/2)-k+1)(1+x)^{(1/2)-n}
f^n(0)=Π_{k=1～n}((1/2)-k+1)
(5)
f(x)=arctan(x)
f'(x)=1/(1+x^2)=(1+x^2)^{-1}=Σ_{n=0～∞}(-x^2)^n=Σ_{n=0～∞}((-1)^n)x^{2n}
f^{2k-1}(0)=((-1)^{k-1})(k-1)!
f^{2k}(0)=0

回答No.8

alice_44

(4)
f(x) = √(1+x) でしたか。
それなら、最初からそう書いてくれれば。

(1+x)^7 を 2 回微分すると 7・6・(1+x)^5、
3 回微分すると 7・6・5・(1+x)^4 になるように、
(1+x)^(1/2) を n 回微分すれば、
= (1/2)(1/2 - 1)(1/2 - 2)…(1/2 - (n-1))・(1+x)^(1/2 - n)
= {1・1・3・5・…・(2n-3)}/{2(-2)^(n-1)}・(1+x)^{-(2n+1)/2}
です。
x = 0 を代入して、分子分母に偶数の因子を補えば、
f^n(0) = {1・3・5・…・(2n-3)}/{(-1)^(n-1)・2^n}・1
= {1・2・3・4・5・…・(2n-3)・(2n-2)}/{(-1)^(n-1)・2^n・2・4・…・(2n-2)}
= {1・2・3・4・5・…・(2n-3)・(2n-2)}/{(-1)^(n-1)・2^n・2^(n-1)・1・2・…・(n-1)}
= {(2n-2)！・(-1)^(n-1)}/{(n-1)！・2^(2n-1)}
と書けますね。

回答No.7

muturajcp

訂正します。
f(x)=Σ_{n=0～∞}f^n(0)x^n/(n!)
(1)
f(x)=e^x=Σ_{n=0～∞}x^n/(n!)→f^n(0)=1
(2)
f(x)=sin(x)=(e^{ix}-e^{-ix})/(2i)
=(Σ_{n=0～∞}(ix)^n/(n!)-Σ_{n=0～∞}(-ix)^n/(n!))/(2i)
=Σ_{n=0～∞}{(i^n-(-i)^n)/(2i)}x^n/(n!)
f^n(0)=(i^n-(-i)^n)/(2i)=(-i^{n+1}-(-i)^{n+1})/2
f^{2k-1}(0)=(-i^{2k}-(-i)^{2k})/2=(-1)^{k+1}
f^{2k}(0)=(-i^{2k+1}-(-i)^{2k+1})/2=(-i(-1)^k-(-i)(-1)^k)/2=0
(3)
f(x)=cos(x)=(e^{ix}+e^{-ix})/2
=(Σ_{n=0～∞}(ix)^n/(n!)+Σ_{n=0～∞}(-ix)^n/(n!))/2
=Σ_{n=0～∞}{(i^n+(-i)^n)/2}x^n/(n!)
f^n(0)=(i^n+(-i)^n)/2
f^{2k-1}=(i^{2k-1}+(-i)^{2k-1})/2=(i(-1)^k+(-i)(-1)^k)/2=0
f^{2k}=(i^{2k}+(-i)^{2k})/2=(-1)^k
(4)
f(x)=√(1+x)=(1+x)^{1/2}
f'(x)=(1/2)(1+x)^{-1/2}
f''(x)=(1/2)(-1/2)(1+x)^{-3/2}
f^n(x)=Π_{k=1～n}(1/2-k+1)(1+x)^{1/2-n}
f^n(0)=Π_{k=1～n}(1/2-k+1)
(5)
f(x)=arctan(x)
f'(x)=1/(1+x^2)=(1+x^2)^{-1}=Σ_{k=0～∞}(-x^2)^k=Σ_{k=0～∞}((-1)^k)x^{2k}
n=2k-1のとき
f^n(0)=((-1)^{k-1})((n-1)!)
n=2kのとき
f^n(0)=0

補足

ありがとうございます。１つ１つみていきます。
f(x)=Σ_{n=0～∞}f^n(0)x^n/(n!)
の解説お願いできませんか？

回答No.6

muturajcp

f(x)=Σ_{n=0～∞}f^n(0)x^n/(n!)
(1)
f(x)=e^x=Σ_{n=0～∞}x^n/(n!)→f^n(0)=1
(2)
f(x)=sin(x)=(e^{ix}-e^{-ix})/(2i)
=(Σ_{n=0～∞}(ix)^n/(n!)-Σ_{n=0～∞}(-ix)^n/(n!))/(2i)
=Σ_{n=0～∞}{(i^n-(-i)^n)/(2i)}x^n/(n!)
f^n(0)=(i^n-(-i)^n)/(2i)=(-i^{n+1}-(-i)^{n+1})/2
f^{2k-1}(0)=(-i^{2k}-(-i)^{2k})/2=(-1)^{k+1}
f^{2k}(0)=(-i^{2k+1}-(-i)^{2k+1})/2=(-i(-1)^k-(-i)(-1)^k)/2=0
(3)
f(x)=cos(x)=(e^{ix}+e^{-ix})/2
=(Σ_{n=0～∞}(ix)^n/(n!)+Σ_{n=0～∞}(-ix)^n/(n!))/2
=Σ_{n=0～∞}{(i^n+(-i)^n)/2}x^n/(n!)
f^n(0)=(i^n+(-i)^n)/2
f^{2k-1}=(i^{2k-1}+(-i)^{2k-1})/2=(i(-1)^k+(-i)(-1)^k)/2=0
f^{2k}=(i^{2k}+(-i)^{2k})/2=(-1)^k
(4)
f(x)=√(1+x)=(1+x)^{1/2}
f'(x)=(1/2)(1+x)^{-1/2}
f''(x)=(1/2)(-1/2)(1+x)^{-3/2}
f^n(x)=Π_{k=1～n}((1/2)-k+1)(1+x)^{(1/2)-n}
f^n(0)=Π_{k=1～n}((1/2)-k+1)
(5)
f(x)=arctan(x)
f'(x)=1/(1+x^2)=(1+x^2)^{-1}=Σ_{n=0～∞}(-x^2)^n=Σ_{n=0～∞}((-1)^n)x^{2n}
f^{2k-1}(0)=((-1)^{k-1})(k-1)!
f^{2k}(0)=0

回答No.5

alice_44

(4) は、一回微分すれば、定数関数 0 になるだけです。

(5) は、申し訳ありません。 f(x) = tan x　と見間違えました。
f ' (x) = 1 + { f(x) }^2　じゃなく、
f ' (x) = 1/(1 + x^2)　ですね。

1 = (1 + x^2)・f ' (x)　の両辺を、n - 1 回微分するかな…

補足

すいません。（４）は入力ミスです。ｆ（ｘ）＝√（１＋ｘ）です。そうなるとこたえはちがいますよね。１／２になりますが、ｎが増えるとどうなるといえるのですか？教えてください。

回答No.4

alice_44

そうですね。１つ１つ n を増やしながら微分していくのですが、
その経過のどこかで規則性を見つけて、こっから先の n は…
と一般化しなければ、永遠に計算し続けるはめになります。

実際に、n = 1, 2, 3, … とやってみると、
(1)(4) は n = 1 まで、
(2)(3) は n = 4 まで( 勘がよければ n = 2 まで ) で
規則性が見つかるようにできています。

(5) は少し難しいですね。
f ' (x) = 1 + { f(x) }^2 から変形して、漸化式でも探すかな。
そのとき、作った漸化式を解く前に、x = 0 を代入して、
f^n(x) ではなく f^n(0) の漸化式を解くようにするのが、
コツと言えばコツかもしれません。

補足

（４）ですが、f ' (x)でｘ＝０のとき、１／２になるのですが、何が間違っているのでしょうか？
（５）難しいです。f ' (x) = 1 + { f(x) }^２この変形もわからないです。すいません。

回答No.3

muturajcp

(2)0(3)1(4)1(5)0　は誤りです
(2)
n=1のとき
f^1(x)=cos(x)
f^1(0)=cos(0)=1≠0
f^n(0)≠0
(3)
n=1のとき
f^1(x)=-sin(x)
f^1(0)=0≠1
f^n(0)≠1
(4)
f^n(x)=0≠1
f^n(0)≠1
(5)
n=1のとき
f^1(x)=(cos(arctan(x)))^2
f^1(0)=1≠0
f^n(0)≠0

補足

そうですね。そうすると、１つ１つnを変えてびぶんしていくのでしょうか？

回答No.2

Tacosan

n が変わったら n階微係数も変わるとは思いませんか?

補足

そうですね。そうすると、１つ１つ微分していくのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

「n階微分の」だから, n に依存するのが普通だとは思いませんか?

補足

ありがとうございます。「n に依存する」とは、どういうことでしょうか？すいませんが、教えてください。