二次関数の場合分けについて
- 二次関数の場合分けについての説明と、最小値と最大値を求める方法について説明します。
- 二次関数の場合分けは、関数の範囲で条件によって場合分けをする方法です。最小値と最大値を求める方法は、場合によって異なります。
- 具体的な問題例を交えながら、二次関数の場合分けや最小値・最大値の求め方について詳しく説明します。
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数I
数I 二次関数の場合分けについて 関数 y = x^2 - 4x + 1 ( a ≦ x ≦ a + 1 ) について (1)最小値を求めよ。 (2)最大値を求めよ。 という問題です。 a ≦ 1 のとき x = a + 1 のとき最小値 a^2 - 2a -2 1 < a < 2のとき x = 2 のとき最小値 -3 a ≧ 2のとき x = a のとき最小値 a^2 -4a +1 としたのですが、友達は「a ≦ 1 と a ≧ 2 のイコールをはずして、1 < a < 2 にイコールをつけないとダメじゃないの？」って言ってたんですがそうなんですか？ 本当ならなぜそうなのか教えてください。 また最大の方について a < 3/2 のとき x = a のとき最大値 a^2 -4a +1 a = 3/2 のとき x = 3/2 , 5/2 のとき最大値 -11/4 a > 3/2 のとき x = a + 1 のとき最大値 a^2 - 2a -2 で合っていますか？ 全体的に二次関数の場合分けの仕方がハッキリと分からないので 「～場合の問題は・・・な感じで場合分けする」という風に説明をお願いします。 最大値と最小値を求める問題、最大値だけを求める問題、最小値だけを求める問題 また、二次関数の式の方に文字が入っている場合、xの範囲の方に文字が入っている場合など 場合分けの仕方や、いくつに場合分けするのか などがよくわかりません。 お願いします。
- keroro429
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> 「～場合の問題は・・・な感じで場合分けする」という風に説明をお願いします。 > 最大値と最小値を求める問題、最大値だけを求める問題、最小値だけを求める問題 > また、二次関数の式の方に文字が入っている場合、xの範囲の方に文字が入っている場合など > 場合分けの仕方や、いくつに場合分けするのか > などがよくわかりません。 分からなくて当たり前です。 どんな風に場合分けしたらよいのかを考える問題なんですから。 「絶対にこうすれば正しく場合分けできる！」というような 万能な解法は存在しないと思います。 強いて言うなら、「どんな時に状況が変わるのか」という所に注目すると良いと思います。 それから試行錯誤ですね。 例えばy = ax^2 + 2x + 1という関数を考えます。 aの値を-2, -1, 0, 1, 2, …という風に変化させると グラフの形がどう変わるかを想像します(このあたりが試行錯誤です)。 するとaが負の数から正の数に変化するあたりで、 グラフの形が「上に凸な放物線」から「直線」に変わり、 更に「下に凸な放物線」に変わります。 これが「状況が変わった時」です。 今回はa = 0を境目に変化するので、a < 0とa = 0と0 < aで 場合分けすればよさそうだなという方針が立ちます (方針が立つだけです。絶対にこう場合分けすれば良いという事が 求まるわけではありません)。 最大値・最小値の場合、こんな時にも状況が変わります。 頂点が定義域内にある(頂点が最大値か最小値になる) ↓ 頂点が定義域外にある(頂点が最大値にも最小値にもならない。これは状況の変化！) (1)の場合は更にもう3つ考えます。 (1-1) 頂点が定義域の中点より左側にある (1-2) 頂点が定義域の中点の位置にある (1-3) 頂点が定義域の中点より右側にある (2)の場合は更にもう2つ考えられます (2-1) 頂点が定義域より左側にある (2-2) 頂点が定義域より右側にある どんな状況の変化があるのかは、自分で考えてみると良いです。 ちなみに、何に着目して状況の変化を見つければ良いのかは問題・分野によりけりです。 > a = 3/2 > の場合は二通りの最大が出ますよね？ > 最大値の値は同じですが、左右対称で二通りの最大を示す部分が出てきますよね？ > これはわけなくてもいいのですか？ 分けておいた方が良いでしょう。
その他の回答 (1)
- spring135
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最小値 要するに等号をどこにつけるかですが統合の前後で結果（最小値）が不連続にならない限り どこでもよろしい。質問者の書き方でも、友達の書き方でも、 a ≦ 1 1<a≦2 2<a で分けてもよろしい。 最大値 a ≦ 3/2 のとき x=aで最大値a^2 -4a +1をとる。 3/2<aのとき x=a+1で最大値a^2 - 2a -2をとる。 だけでよろしい。a=3/2はa ≦ 3/2に含まれます。
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