f(x,y)の最小値

質問

f(x,y)=x^2-4xy+6y^2+4x-4y+7
={x-(2y-2)}^2+2y^2-4y+3
={x-(2y-2)}^2+2(y+1)^2+5

x≧0，ｙ≧0のとき、f(x,y)の最小値を求めよ。

実数全体ならx=-4,y=-1のとき最小値５ですが。
どうやればいいのでしょうか？

回答No.1

noname#24477 · ベストアンサー

式変形の最後が少し違いますね。
{x-(2y-2)}^2+2(y+1)^2+1

さて
（１）0<=y<=1　のときは　{x-(2y-2)}^2　の部分から
x=0で最小になります。
元の式でx=0の場合を調べます。

（２）y>=1の場合は　{x-(2y-2)}^2　の部分を適当なｘによって
０に出来ます。だからｙ＝１のときが最小。
（１）と（２）の最小値を比べます。

補足

0≦ｙ＜1のとき

ｘ＝0で
f(0,y)=6ｙ^2-4y+7=6{y-(1/3)}^2+19/3
ｙ＝１／3で最小値19／3

1≧ｙのとき
ｙ＝1、ｘ＝0で最小値9

よって、最小値は19／3　　right?

回答No.2

kony0

あっていますが、回答としては言葉による補記をしないとなにをやりたいんかわかってもらいにくいかと思います。

f(x,y) = {x-(2y-2)}^2 + 2(y+1)^2 + 1

【私の回答】

y=Yと固定して、xの値をx≧0の範囲で動かしたときのf(x,Y)の最小値をg(Y)とする。

1) Y≦1のとき
f(x,Y)はx≧0で単調増加。よって、g(Y)=f(0,Y)=6Y^2-4Y+7
2) Y＞1のとき
f(x,Y)はx=2Y-2のとき最小値g(Y)=2(Y+1)^2+1をとる。

g(Y)の最小値を考えればよいが、y＞1ではg(Y)は単調増加は明らか。
y≦1のときを考えると、g(Y)=6(y-1/3)^2+19/3

従って、(x,y)=(0,1/3)のとき最小値19/3をとる。