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f(z)=z^3で定義される複素平面C上の関数fのΔ＝{z=re^iθ

f(z)=z^3で定義される複素平面C上の関数fのΔ＝{z=re^iθ∈C｜r＞0,2π/3≦θ＜4π/3}への制限f｜Δをgとおく。Cから原点を除いた集合をC*と書くことにする。写像（関数）g:Δ→C*は1：1かつonto写像であることを証明せよ。 また、このことよりgの逆関数g^-1が存在しg^-1(8/27),g^-1(i8/27)はどのような数をとるか。 この問題がどうやればいいのかわからないのですが、どなたか教えていただけると助かります。 よろしくお願いします。

みんなの回答

回答No.2

こんな感じなのかなと思いますが・・・ △上の点z=re^(iθ)　（r>0,2π/3<=θ<4π/3)に対し、 f(z)=(r^3)e^(i3θ) 絶対値・偏角のとるうる値はそれぞれ0<r^3、2π<=3θ<4π となり、原点以外の複素平面即ちC*をカバーすること となるため全射(onto）。 f(z1)=f(z2)即ち、r1^3=r2^3かつ3θ1=3θ2のとき、 必ずr1=r2かつθ1=θ2即ちz1=z2が成立するので単射（1:1)。 g^-1(8/27) =g^-1((2/3)^3e^(i2π))=(2/3)e(i2π/3)=(-1+i√3)/3 g^(-1)(i8/27) =g^-1((2/3)^3e^(i5π/2))=(2/3)e(i5π/6)=(-√3+i)/3

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

特にひねる必要もなく, 素直に示すだけでいいんじゃないかなぁ.

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