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この微分の問題を教えてください。
sanoriの回答
こんにちは! まず、一次関数 y=x のグラフを思い出しましょう。 はるか左下から上って来て、どこで曲がることも無く、はるか右上へ上り去っていきます。 次に、二次関数 y=x^2 のグラフを思い出しましょう。 はるか左上から下って来て、極小値で方向転換をし、その後、はるか右上へ上り去って行きます。 次に3次関数です。 y=x^3 は、はるか左下から上って来て、x=0 で極小値と極大値が同時に来るので、つまり、極小値も極大値もありません。その後、はるか右上へ去って行きます。 y=x(x+1)(x-1) の場合は、はるか左下からやってきて、極大値で右下に方向転換し、次に極小値で右上に方向転換し、あとははるか右上に上り去っていきます。 つまり、極大値と極小値を持つためには、2回の方向転換、つまり「2回曲がる」ということが必要になります。 そして、本題の四次関数ですが、x^4 の前にマイナスの数がかかっていないので、 はるか左上から下ってきて、その次に「何か」が起こり、最終的にはるか右上へ去っていきます。 つまり、四次関数が極大値を持つためには、「何か」という部分が「3回曲がる」つまり、極小値その1、極大値、極小値その2という3つの極値がなければいけません。 極値を取るときは、微分したものがゼロになります。 つまり、 F’(x) = 4x^3 - 12x + 4a = 4(x^3 - 3x + a) がゼロのとき極値を取ります。 ですから、 x^3 - 3x + a = 0 という三次方程式に3つの異なる解があればよい、ということになります。
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