サイコロを振る独立性の証明方法
- 1回目の出目が2であり、2回目の出目が5であるという二つの事象が独立であることを証明する方法を考えます。
- 独立性の証明には、事象Aと事象Bの同時確率が、それぞれの確率の積で表されることを示す必要があります。
- 事象Aの確率は1/2、事象Bの確率も1/2なので、P(A∩B) = P(A)P(B)が成り立ちます。
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独立の証明方法
独立の証明方法 すみません。すぐ下の質問をしたのですが、間違えました。すぐ下の質問でなくこの質問を見てください。 1個のサイコロを2回続けて振るときに、1回目に出る目が2であること（事象A）と2回目に5であること（事象B）は、独立であると思います。 これを証明するには、P(A∩B)=P(A)P(B)を示すことができればいいと思い次のように証明を始めたのですが、行き詰まりました。 明らかに、P(A)=1/2、P(B)=1/2。したがって、P(A)P(B)=1/2×1/2=1/4。 ここまではできたのですが、P(A∩B)をどうやって求めればいいのか分かりません。 P(A∩B)はどうやって求めればいいのでしょうか。
- piyo_1986
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質問者が選んだベストアンサー
話の順番が逆ですよ。 例えば、一回目にサイコロを投げた後、サイコロをほんの数ミリだけ持ち上げてそっと落とし、 「二回目を投げた」と主張したら、どうなります？ おそらく、「二回目」の出目は一回目と同じになるので、一回目と二回目は独立になりません。 卑怯だって？ そうです。 つまり、「サイコロを投げる」と書いてあれば、このような変な投げ方は許されない…という ルールが、暗黙のうちに仮定されているのです。それを明示的に書けば、「一回目の出目と 二回目の出目は独立であるとする」ということになります。 独立性は、確率を計算して成立不成立を検証できる事項ではなく、問題の状況設定に含まれる 仮定だったのです。 むしろ、独立性が仮定されているために、P(A∧B) = P(A)・P(B) から P(A∧B) を計算する ことができるようになるのです。
その他の回答 (7)
- alice_44
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どの目が出る確率も 1/6 であるサイコロを、 「毎回」どの目が出る確率も 1/6 であるように投げる …と解釈すべきだと思います。 この「毎回」が、すなわち、反復試行の独立性です。 そして、そのように解釈したことを 答案の冒頭に明記しておけば、 脱教科書レベルというか、 最低限、数学と呼びうる内容の記述になる と思います。
お礼
御返事が遅くなって申し訳ありません。 イマイチすっきりしませんが、1回目と2回目は当然独立だよ、証明なんて要らないよ、という考えで行きます。 有り難うございました。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
誤字訂正 : No.5 のやりなおしの「証明」も
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
No.3 の、やりなおしの「証明」も、 依然として、「独立と仮定したから独立」 という、循環証明のワクを脱出していません。 「一回目と二回目は独立」と仮定しても、 「二回分の出目 36 通りが等確率」と仮定しても 同じことですが、要するに、 「サイコロを二度投げる」といった、 日常経験の印象を援用した、数学的に厳密でない 状況設定の記述の中に、独立性の仮定が 極めて曖昧な形で埋め込まれている ということを自覚するのが、理解への道 であるように思われます。 「サイコロ」という記述から、何を読みとって どう定式化したかしだいで、 等式 P(A∧B) = P(A)・P(B) を導くために 途中でするべき計算は違ってきます。 「独立性」の定式化だって、流派しだいで、 他の式によるやり方もあるんですから。
補足
再度のご回答ありがとうございます。 「「サイコロを二度投げる」といった、日常経験の印象を援用した、数学的に厳密でない状況設定の記述の中に、独立性の仮定が極めて曖昧な形で埋め込まれている」ということは、確率の初歩を学習している者は、当然、1回目と2回目は独立であるとしてよいということでしょうか。 つまり、サイコロを投げるときにどの目が出る確率も1/6であるということと同じように、当然のこととして扱っていいということでしょうか。 「「サイコロ」という記述から、何を読みとってどう定式化したか」は、「どの目の出る確率も正しく1/6であるサイコロを、どの目の出る確率も正しく1/6であるように投げる」ということであると考えています。それ以上のことは全く分かりません。というか、この問題を解くのにアップアップで、考えたこともないというのが本音です。 よろしくお願いします。
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
#2です。 ＞証明開始 ＞1回目に2が出る確率が1/6、2回目に5が出る確率が1/6。1回目と2回目とは独立なので、乗法定理によりP(2,5)=P(2)P(5)=1 /6×1/6=1/36。 ＞証明終わり この証明の方針だと「堂々巡り」「ニワトリと卵」になってしまいますね。 P(A∩B)=P(A)P(B)の関係から独立となることを示そうとするのであれば、 「結果として、そうなっている」ということから導かないといけないと思います。 つまりは、 ・36とおりを書きだしたうち、条件を満たすものは (2, 5)だけとなり確率は P(A∩B)＝ 1/36 ・そして、P(A)＝ P(B)＝ 1/6となっており ・結果として、P(A∩B)＝ P(A)P(B)が満たされている。 ・よって、事象AとBは互いに独立である。 といったところでしょうか。 なんかすっきりしない感じも残りますね・・・。＾＾；
補足
再度の御回答有り難うございます。 そうなんです。「（2, 5)だけとなり確率は P(A∩B)＝ 1/36」のところですよね。 (2, 5)は36個のうちの1個だから1/36だと思うんですが、そう言うためには「36個のどれも同じ確率である」ということを言わないとだめですよね。そこをどう証明すればいいのかが分かりません。そこは証明なしに言い切っていいんでしょうか。 どこまでが当然であるとして証明なしに取り扱っていいのか、どこからが証明しなければならないことなのか、その境界が分かっていないんです。 よろしくお願いします。
- edomin7777
- ベストアンサー率40% (711/1750)
＃１です。 ごめんなさい。 前の質問と違う質問なんですね…。ｗ m(_ _)m
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
こんばんわ。 可能であれば、先の質問は削除してくださいね。 ＞明らかに、P(A)=1/2、P(B)=1/2。 そうでしょうか？さいころの目の出る確率って・・・ ＞P(A∩B)をどうやって求めればいいのか分かりません。 いまの問題であれば、全部の目の出方を書き出して、その中で A∩Bとなるものを数え上げることになるかと。
お礼
早速の御回答有り難うございます。 質問て削除できるんですね。知りませんでした。削除しました。 間違えました。P(A)=1/6、P(B)=1/6でした。すみません。 全部の目の出方を書き出して、その中で A∩Bとなるものを数え上げるんですか。なるほど！これは思いつきませんでした！これなら完璧ですね！ そうすると、P(A∩B)=P(A)P(B)=1/36で証明できますね。 有り難うございました。
補足
「解けた！」と思ったのですが、少し疑問が残りました。 (1回目の目の数, 2回目の目の数)の形で全ての組合せを書くと (1, 1), (1, 2), ... (2, 1), ... ... (6, 1), ... の36個があることは分かります。 ここで、(2, 5)の確率が1/36であることを言わなければならないと思います。これは直感的には分かるのですが、その証明方法が分かりません。1/36であることはどのようにして証明するのでしょうか。 証明開始 1回目に2が出る確率が1/6、2回目に5が出る確率が1/6。1回目と2回目とは独立なので、乗法定理によりP(2,5)=P(2)P(5)=1/6×1/6=1/36。 証明終わり とすると、1回目に出る目が2であること（事象A）と2回目に5であること（事象B）が独立であることを証明する過程で1回目に出る目が2であること（事象A）と2回目に5であること（事象B）が独立であることを前提とした計算をすることになるので、上記のような証明はできないと思います。 (2, 5)の確率が1/36であることはどのようにして証明するのでしょうか。
- edomin7777
- ベストアンサー率40% (711/1750)
Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝０ Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝０ Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝０ ＡとＢの同時確率は０ Ａが起こるという条件でのＢの確率は０ Ｂが起こるという条件でのＡの確率は０ だから、排反事象なんだってば。
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>独立性は、確率を計算して成立不成立を検証できる事項ではなく、問題の状況設定に含まれる 仮定だったのです。 そうなんですね。出目については各出目の確率が1/6であるというようなことを当然の前提として認めるんだと思います。認めないと数学の確率の話が全て成り立たないことになりますよね。 ただ、1回振ったときの出目については当然そうだと思うのですが、1回目の出目と2回目の出目が互いに独立であるかどうかは、直感的には「そんなもん、当然独立だよ」と思えるのですが、数学的にはそれでいいのかどうかというところがふっきれません。それでいいんですかね...。どこまでが「そんなもん、当然だよ」でいいのかの判断ができません。 すみません。意味不明のことをいってしまいました。 有り難うございました。