不定積分の解き方で

質問

不定積分の解き方で

こんにちは。
1/(x^4√(a^2+x^2))という不定積分を解きたいのですが、
x=atantやx=asinht,x=1/tなどの置換を試みているのですが、x^4の項をなかなか処理することができません。
そこでまずお聞きしたいのは解答全てではなくてこの形の不定積分を解くときに必要な発想（何で置換するとかどのような形にもっていくのか）などを教えていただきたいのです。
それでしばらく考えてもわからなければまた質問します。

それと不定積分のパターンはとてもたくさんあるように感じるのですが、
頭の中でうまく解き方を整理できるような考え方などがあったら教えていただきたいです。

面倒な質問の仕方ですみません。
よろしくお願いします。

回答No.5

OKXavier

ANo.2です。

>有理化すると
>16∫1/(t*(t^2-a^2)^4)と変形できました。

分子にt^4　が落ちていませんか？
16∫{(t^3)/(t^2-a^2)^4}dt

正攻法では部分分数に分解ですが、単にt^2-a^2=u　とおいて
t^2=u+a^2
tdt=(1/2)du
を使えば、後は簡単です。
最後に、
u=t^2-a^2=2tx=2x(x+√(a^2+x^2))
で書きかえをすれば完成。

補足

書き換え後の式がinaraさんと完全に一致しません。
不定積分だから完全一致しないこともあるのでしょうが。
-{3x(x+√(x^2+a^2)+a^2)/3x^2(x+√(x^2+a^2)^3)}+C
となったのですが・・・・

回答No.4

inara

ANo.3です。答えが間違ってました
×　( 2*x^2 - a^2 )*√( x^2 + a^2 )/( 2*a^4*x^3 )
○　( 2*x^2 - a^2 )*√( x^2 + a^2 )/( 3*a^4*x^3 )

回答No.3

inara

計算は大変ですが結果は複雑ではありません。
x = 2*a*t/(1-t^2) とおくと
　　　√(x^2+a^2) = |a|*(t^2+1)/(t^2-1)
　　　x^4 = 16*a^4*t^4/(t^2-1)^4
　　　dx = 2*a*(t^2+1)/(t^2-1)^2 dt
なので
　　　∫dx/{ x^4*√(x^2+a^2) }
　　= ∫(t^2-1)^3/( 8*a^4*t^4 ) dt
　　= 1/(8*a^4)*∫(1/t)*(t^1/t)^3 dt
　　= 1/(8*a^4)*∫( t^2 - 3 + 3/t^2 - 1/t^4 ) dt
となります。

この後、積分結果に t = を代入して x の式に戻すのですが、x = 2*a*t/(1-t^2) から t を求めるところで複号が出てくるので美しくありません。ANo.2さんの方法が良いと思います。ちなみに答えは
　　　( 2*x^2 - a^2 )*√( x^2 + a^2 )/( 2*a^4*x^3 )
になります。

お礼

なるほど。
計算は確かに複雑ですね・・・
計算多いの苦手なんであんまり向かないかな・・・
回答ありがとうございます。

回答No.2

OKXavier

√(a^2+x^2)=t-x
とおくと、
有理化できます。

有理化するためのパターンがありますからそれを利用します。

補足

有利化すると
16∫1/(t*(t^2-a^2)^4)と変形できました。
この後の変形がわかりません。
tをまた別の文字で置換すればよいのでしょうか？

回答No.1

inara

1/{ x^4*√( a^2 + x^2 ) } は、x = 2*a*t/(1 - t^2) [ |t| < 1 ] とおくと有理関数になりませんか。

補足

回答ありがとうございます。
教えてくださったように置換して、1/8a^3∫(1-t^2)^3/t^4という有利関数に変形できましたが、
ここからtを消してxにするとものすごく複雑な式になってしまうと思うのですが・・・
変形が間違っているのでしょうか？