- ベストアンサー
不定積分の求め方。
(1)1/(4x^2-1) (2)1/(x^2+x+1) (3)x^2/(x^2+1)(x^2+4) の三つのです。 (1)では全くやり方が浮かびません。置換積分にしてもxが残ってしまうし、割ってもだめでした・・。 (2)は分母を(x+1)^2-xとして、置換積分をしてもダメでして・・。一体どうすれば? (3)も同じ理由です。 分母の方が次数が大きい場合の不定積分はどうすればいいのでしょうか?
- remonfuru-tu
- お礼率7% (4/56)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数7
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
(1)ですが、まず与式を部分分数展開します。 1/(4x^2-1) ={1/(2x+1)}{1/(2x-1)} =(1/2){1/(2x-1)-1/(2x+1)} =(1/4){2/(2x-1)-2/(2x+1)} ここで、 ∫2/(2x-1)dx=∫(2x-1)'/(2x-1)dx=log(2x-1) ∫2/(2x+1)dx=∫(2x+1)'/(2x+1)dx=log(2x+1) だから、 (1/4)∫{2/(2x-1)-2/(2x+1)}dx =(1/4){log(2x-1)-log(2x+1)} =(1/4)log{(2x-1)/(2x+1)} となります。
その他の回答 (2)
- eliteyoshi
- ベストアンサー率42% (76/178)
再びNo.1、2です。 (2)は置換積分でよいのですが、分母の変形を x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4 とします。 ∫1/(x^2+x+1)dx=∫1/{(x+1/2)^2+3/4}dx ここで、x+1/2=tとするとdt/dx=1より ∫1/(t^2+3/4)dt =∫1/[t^2+{(√3)/2}^2]dt =(2/√3)tan^-1(2t/√3)+C =(2/√3)tan^-1{(2x+1)/√3}+C となります。
- eliteyoshi
- ベストアンサー率42% (76/178)
No.1で回答した者です。申し訳ないですが、前回回答に定数Cを付けるのを忘れていました。 (3)についても(1)と同様に部分分数展開します。 x^2/(x^2+1)(x^2+4) =(1/3){4/(x^2+4)-1/(x^2+1)} ここで、 ∫1/(x^2+4)dx=∫1/(x^2+2^2)dx =(1/2)tan^-1(x/2) ∫1/(x^2+1)dx =tan^-1(x) より、 (1/3)∫{4/(x^2+4)-1/(x^2+1)}dx =(1/3){(4/2)tan^-1(x/2)-tan^-1(x)}+C =(1/3){2tan^-1(x/2)-tan^-1(x)}+C となります。 ※tan^-1はアークタンジェントを示します。
関連するQ&A
- 不定積分の解き方で
不定積分の解き方で こんにちは。 1/(x^4√(a^2+x^2))という不定積分を解きたいのですが、 x=atantやx=asinht,x=1/tなどの置換を試みているのですが、x^4の項をなかなか処理することができません。 そこでまずお聞きしたいのは解答全てではなくてこの形の不定積分を解くときに必要な発想(何で置換するとかどのような形にもっていくのか)などを教えていただきたいのです。 それでしばらく考えてもわからなければまた質問します。 それと不定積分のパターンはとてもたくさんあるように感じるのですが、 頭の中でうまく解き方を整理できるような考え方などがあったら教えていただきたいです。 面倒な質問の仕方ですみません。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 難しい(?)不定積分
f(x)=a/(a-sinx) g(x)=(1-a^2)/(1-2a cosx +a^2)の不定積分を求めることが出来ません。(ただしaの絶対値は0より大きく1より小さい) 特に、g(x)の場合には全区間(-∞,+∞)での不定積分を求めなければ、ならないのですが・・・ 自分なりに、t=tan(x/2)で置換してみたりはしてみました。何かヒントをいただければと思います。 高校での積分ではないことは分かっています。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- (1)∫sin^2dxの不定積分を求めよ
(1)∫sin^2dxの不定積分を求めよ (2)x=sintと置換して∫√1-x^2dxの不定積分を求めよ (3)4x(1-x)=1-(2x-1)^2を利用して、 ∫dx/√x(1-x)=∫2dx/√4x-4x^2の不定積分をを求めよ
- 締切済み
- 数学・算数
- 不定積分についてです
(置換積分) f:[a,b]→[c,d]がC^1級でg:[c,d]→Rが連続であるとき次の式が成立する ∫[a,b]g(f(x))f'(x)dx = ∫[f(a),f(b)]g(y)dy この定理が成り立つのは良いのですが,不定積分について ∫g(f(x))f'(x)dx =∫g(y)dy が成り立つ理由がわかりません… 部分積分も同様に,定積分の式ならわかるのですが、不定積分について ∫f(x)g'(x)= f(x)g(x)-∫f'(x)g(x) となる理由がわかりません。 大学数学での不定積分のきちんとした定義とともに、 ∫[a,b]g(f(x))f'(x)dx = ∫[f(a),f(b)]g(y)dy ∫f(x)g'(x)= f(x)g(x)-∫f'(x)g(x) の成り立つ理由がわかる方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願い致しますm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数