実数x,y,a,bが条件x^2＋y^2=1および（a-2）^2＋（b-2√3）^2=1を満たす時、ax＋byの最大値、最小値を求めよ。
解答には「点Pは円x^2＋y^2＝１の周上を動き、点Qは円（x-2）^2＋（x-2√3）^2=1・・・(1)の周上を動く。
OP→とOQ→のなす角をθとすると
ax＋by=OP→・OQ→＝|OP→||OQ→|cosβ＝√1・|OQ→|cosβ＝｜OQ→|cosβ
0°≦β≦180°より、-1≦cosβ≦1であるから、
ax＋byが最大となるのは、|OQ→|が最大でcosβ＝１のときで、
最小となるのは｜OQ→|が最大でcosβ＝-1のときである。
円(1)の中心はA（2,2√3）であり、直線OAと円(1)の交点のうち原点から遠い距離にある点をQ1とすると、|OQ→|の最大値は
OQ1=OA＋AQ1=√2^2＋（2√3）^2＋1=5 （ちなみにここの√2^2＋（2√3）^2は計算していただいたらおわかりのように全て√でくくられています）
よって、ax＋byの最大値は5 最小値は-5」
解答に書いてあることがいまいち理解できないので
暗記に走ってしまいそうです。
高１の最後の春休みにベクトルを克服しようと思うので
回答者様のお力の方をお借りしたい所存でございます。
まずわからないところ(1)
√1・|OQ→|cosβ とありますが√1はどこからきたのですか？
また√1とする意味も分かりません。普通に１とすればいいのではと思ってしまいます。
わからないところ(2)
「点Pは円x^2＋y^2＝１の周上を動き、点Qは円（x-2）^2＋（x-2√3）^2=1・・・(1)の周上を動く。」
これはもう・・・
日本語の問題というべきでしょうか。
なんで(1)はxについての式みたいになっているのでしょうか？
このようにして表したわけがわかりません。
あとの解説はなんとなくわかるのですが・・・
誰か分かる方教えてください。お願いします。
投稿日時 - 2010-03-15 19:28:30
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回答（3件中 1～3件目)
ｘ、ｙ平面の中に２つの円Ａ，Ｂがある。
円Ａ ｘ^2＋ｙ^2＝１
円Ｂ (ｘ－２)^2＋(ｙ－２√３)^2＝１
円Ａ上の点Ｐの座標を（ｘ１、ｙ１）、円Ｂ上の点Ｑの座標を（ｘ２、ｙ２）とするとき
ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２
の最大値と最小値を求めよ。
こういう風に文章を変えるとわかりますか。
同じ平面内にあるベクトルでないと内積を考えることができません。
（ｘ、ｙ）、（ａ，ｂ）だと同じ平面の中の2つの点だということがわかりにくいです。
（ｘ１、ｙ１）、（ｘ２、ｙ２）だと対等なイメージに変わります。
投稿日時 - 2010-03-15 21:59:13
>ax＋by=OP→・OQ→＝|OP→||OQ→|cosβ＝
>√1・|OQ→|cosβ とありますが√1はどこからきたのですか？
上の式の|OP→|が円:x^2＋y^2＝１の半径に等しく、
半径は右辺の１の平方根なので|OP→|=√(x^2+y^2)=√1
と敢えて根号つけて強調したものと思われます。
√1と書かないで単に1と書いても問題ないと思います。
>なんで(1)はxについての式みたいになっているのでしょうか？
>このようにして表したわけがわかりません。
点Q(a,b)が円周上の固定点（a,bは定数）ではなく動く点Q(x,y)として考えたかったので
>円（x-2）^2＋（x-2√3）^2=1・・・(1)の周上を動く。
としたのでしょうね。
投稿日時 - 2010-03-15 20:45:51
ａｘ＋ｂｙという表現がベクトル（ａ、ｂ）とベクトル（ｘ、ｙ）の内積を表しているというところから考えをスタートさせています。会苦とる
（１）√１はＯＰ↑の長さです。別にはじめから１と書いてもかまいません。半径１の円ですから｜ＯＰ↑｜＝１です。
（２）点Qは円（x-2）^2＋（x-2√3）^2=1・・・(1)の周上を動く
（正）点Qは円（x-2）^2＋（ｙ-2√3）^2=1・・・(1)の周上を動く
こんなミスプリントがそのまま載っているのですか。
投稿日時 - 2010-03-15 20:24:24
補足
（正）点Qは円（x-2）^2＋（ｙ-2√3）^2=1・・・(1)の周上を動く
すみません。私のうち間違いでした。
質問文をきちんと確認しなかったことを深くお詫び申し上げます。
（１）については理解できたのですが、
「点Pは円x^2＋y^2＝１の周上を動き、点Qは円（x-2）^2＋（x-2√3）^2=1・・・(1)の周上を動く。」
これは
点Qは円（x-2）^2＋（y-2√3）^2=1・・・(1）の部分がxとyになっているのでしょうか？こう表すことによって何か意味があるのでしょうか（当然ありますよね；）
投稿日時 - 2010-03-15 20:46:10
