数学B ベクトルの質問です

質問

数学B ベクトルの質問です

2つのベクトル↑OA＝（1,3）、↑OB＝(-3,4)のなす角をθとするとき、↑OAとなす角が60°であるような単位ベクトル↑OCを求めよ。

という問題です。

たとえば、2つのベクトルのなす角の公式

cosθ=a1b1+a2b2/｜a｜｜b｜

という公式などは理解できているかと思います。

この問題を解くにあたって、どのように考えたらよいのでしょうか？？

教えてください。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

#2,#4です。

A#4の補足の質問について
括弧(　)をつけて書くようにして下さい。

>cosθ=(a1b1+a2b2)/｜a｜｜b｜
>1/2=(a+3b)/{(√10)√(a＾2+b＾2)}　…(☆)
>a+3b=[√{10(a＾2+b＾2)}]/2

>となってしまいます。。
別に問題なしです。

>もしかして、a＾2+b＾2の部分を1として解釈をして、計算をすればよいのでしょうか？？
その通り。
折角、連立方程式を解いて行くわけですから、複雑な項を含んだまま計算を進めないで（☆）の段階で、連立方程式の相棒の
「a＾2+b＾2=1…(1)」を使うようにする。
計算ミスや計算時間のロスを減らすために……。

お礼

いろいろと、教えてくださいましてありがとうございました！！！
本当に助かりました～
また、次に向けて頑張れそうです！！

回答No.4

info22_

#2です。

A#2の連立方程式を解く時の式の転記ミスで答えが間違って出てしまっていましたので訂正します。

>↑OC=(a,b)と置くと
> a^2+b^2=1…(1)
> a+3b=(√10)/2…(2)
を解くと
>(a,b)=(-1/√10,3/√10),(3/√10,1/√10) (これは間違いで削除)

C↑=(a,b)=((1-3√3)/(2√10),(3+√3)/(2√10)),
=((1+3√3)/(2√10),(3-√3)/(2√10))
と正しい答えが出てきます。

補足

質問させてください！！

えっと、

a^2+b^2=1…(1)　これは理解できるのですが、a+3b=(√10)/2…(2)が理解できません。。。

私が計算をすると

cosθ=a1b1+a2b2/｜a｜｜b｜
1/2=a+3b/(√10）(√a＾2+b＾2)
a+3b={√10(a＾2+b＾2)}/2

となってしまいます。。

もしかして、a＾2+b＾2の部分を1として解釈をして、計算をすればよいのでしょうか？？

よろしくお願いいたします。

回答No.3

alice_44

↑OA の偏角を a とすると、
↑OA 方向の単位ベクトルは、
(cos a, sin a) = ↑OA / ｜↑OA｜
= (1, 3) / √10 です。

↑OA と 60度をなす単位ベクトルは
二個あって、
↑OC = (cos(a+60゜), sin(a+60゜))
または (cos(a-60゜), sin(a-60゜))。

あとは、加法定理で展開して、
cos a と sin a を代入するだけです。

お礼

この問題には最後まで苦しめられました。。。

本当に勉強になりました～

次が無ければよいのですが・・・また、わからないことがあるかと思います。
そのとき、ぜひとも、お力をくださいませ！！

補足

解答が

(1-3√3/2√10 , 3+√3/2√10) , (1+3√3/2√10 , 3-√3/2√10)

となるようですが、どのように考えて、どのように計算を進めていけば、このような数字になるのかが、全くわかりません。。。

途中の式で、√3がどうしても出てこないのです。。。

すみません、ご検討、お願いします。

回答No.2

info22_

>cosθ=(a1b1+a2b2)/｜a｜｜b｜
=(-3+12)/(5√10)=9/(5√10)
ですが
>↑OAとなす角が60°であるような単位ベクトル↑OCを求めよ。
この問題では↑OB＝(-3,4)は無関係では？

↑OC=(a,b)と置くと
a^2+b^2=1…(1)
cos60°=1/2=(a+3b)/((√10)√(a^2+b^2)=(a+3b)/√10
⇒ a+3b=(√10)/2…(2)

(1),(2)を連立方程式として解けば↑OC=(a,b)が求まります。
解けば
(a,b)=(-1/√10,3/√10),(3/√10,1/√10)

回答No.1

spring135

↑OBは使わないのですか。
＞↑OAとなす角が60°
でよいのですか。

補足

問題文そのままアップしておりますので、そうだと思います。

機会がありましたら、ご検討よろしくお願いいたします