積分です！

質問

x(1-x)^(3/2) を0から1で定積分するのですが。

x(1-x)^(3/2)
=x^(3/2)-(x^3)
積分して
((2/5)*x^(5/2))-((1/4)*x^4)+C

と自分はやったのですが、これは間違っている気がします。
もし間違っていたら正しい積分の仕方を教えていただきたいです。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>x(1-x)^(3/2)
>=x^(3/2)-(x^3)
↑この式の変形は間違い。

{x(1-x)}^(3/2)であっても、
>=x^(3/2)-(x^3)
とはなりません。
なので
>積分して
>((2/5)*x^(5/2))-((1/4)*x^4)+C
は間違いです。

[部分積分法使用するやり方]
I=∫[0,1] x(1-x)^(3/2)dx
=[x(-2/5)(1-x)^(5/2)] [x:0,1]-(-2/5)∫[0,1](1-x)^(5/2) dx
=(2/5)[(-2/7)(1-x)^(7/2)] [x:0,1]
=4/35

お礼

ありがとうございます！
そうか、展開はできませんでしたね。
基本的なところで間違えてました。
ほんと助かりました。

回答No.2

aquatarku5

部分積分により、
∫x・(1-x)^(3/2)dx
=x・{(-2/5)・(1-x)^(5/2)}-∫{(-2/5)・(1-x)^(5/2)}dx
=x・{(-2/5)・(1-x)^(5/2)}+(2/5)・(-2/7)・(1-x)^(7/2)+C

あるいは置換積分により、t=1-xとして
∫(1-t)・t^(3/2)・(-1)・dt
=∫{t^(5/2)-t^(3/2)}dt
=(2/7)・t^(7/2)-(2/5)・t^(5/2)+C

ではないでしょうか？

定積分の答えは4/35かと。

お礼

ありがとうございます！
そうか、展開はできませんでしたね。
基本的なところで間違えてました。
ほんと助かりました。置換でもできるのですね！

回答No.1

Tacosan

最初の式変形で, どうして
x(1-x)^(3/2)=x^(3/2)-(x^3)
なのか私には理解できません. 説明をお願いします.
ま, 普通は置換積分するけどね.