• 締切済み

微分積分概論　実数の連続性公理を用いる問題です。

今日の１７時までに提出のレポートの問題なのですが、 この問題だけ解けません。。。どなたか、どうか助けて下さい。 数列{ａ_n}n∈Ｎ,{ｂ_n}n∈Ｎが lim［n→∞］ａ_n=a,lim［n→∞］ｂ_n=bをみたせば、 lim［n→∞］(ａ_1ｂ_n+ａ_2・ｂ_n-1+…+ａ_n・ｂ_1)/n=ab を満たすことを示せ（ε-Ｎ 論法をもちいることもある）。 ヒント：ａ=の場合に帰着できることをまず示すこと、 また収束列が有限界であることも活用すること。 どうかどうかよろしくお願いします。。。

みんなの回答

回答No.2

任意にとったε>0に対してi>Nのとき|a_i - a|＜ε, |b_i - b|＜εとする。n>2Nとなるようにnをとって 　ａ_1ｂ_n+ａ_2・ｂ_n-1+…+ａ_n・ｂ_1 を左端の部分 　ａ_1ｂ_n + ａ_2・ｂ_n-1 + …+ ａ_N-1・ｂ_n-N+2 真ん中の部分 　ａ_N・ｂ_n-N+1 + …+ ａ_n-N+1・ｂ_N と残りの右端の部分に分ける。数列の絶対値の上界をMとすると左端部は 　(ａ_1ｂ_n + ａ_2・ｂ_n-1 + …+ ａ_N-1・ｂ_n-N+2)/n < ((N-1)M^2)/n なので任意に小さくできる。右端部も同様。真ん中の部分は 　N≦i≦n-N+1　のとき |a_i・b_n-i+1 - ab|＜2Mε+ε^2 だからこれも任意に小さくできる。

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

「ａ=の場合に帰着できることをまず示すこと」は本質的に不要な気もするけど「ａ=の場合」という表現が意味不明なのでどうとも判断できない. まぁ lim［n→∞］ａ_n=a とか lim［n→∞］ｂ_n=b とかを「ε-Ｎ 論法」で書き, ａ_1ｂ_n+ａ_2・ｂ_n-1+…+ａ_n・ｂ_1 - nab を「収束列が有限界であること」を用いて評価すればいいんじゃないかな. あなたがどこまでできていてどこが分からないのかを書いてくれれば, もうちょっと詳細に書くかもしれん.

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