絶対値を含む関数の問題

質問

こんにちは。

t(x)=|x(x-4)|
とおいて、
f(t)=t^2+2t-c=0
としたとき、xが８つの異なる実数解をもつときのcの値を求めたいのですが、その過程がわかりません。
グラフ描画ツールで解答が0<c<1であることは判明しました。
ｘが異なる８実数解を持つためには、tが異なる４実数解をもつ必要があると考え、f(t)=t^2+2t=(t-1)^2-1=cと書けるので、c<1であることは判断できました。しかし、c>0である理由がわかりません。
あくまでグラフ描画ツールで0<c<1と判断しただけですので、私の解釈が間違っていたら申し訳ございません。訂正をお願いします。

よろしくお願い致します。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

問題が間違っていませんか？
t(x)=|x(x-4)|が正しいとすると

f(t)=t^2+2t-c=0…(A)は2次方程式ですから、t=t1,t2の最大2個の解しか持ちえません。異なる２実数解をもつ条件は判別式D/4=1+c>0から
　c>-1…（B)

(一方、t(x)=|x(x-4)|=kを満たすxの個数は次の通り。
　k<0でゼロ個、k=0で2個、0<k<4で4個、k=4で3個、k>4で2個、

題意のような異なる8個の実数解を持つための必要十分条件は、
(A)が２実数解t1,t2(t1<t2とする)を持ち…（C)、
かつ
２実数解が共に0<t1<t2<4　…(D)
を満たすことです。

しかし、(A)の式の対称軸がt=-1なので(D)の条件を満たせません。
なので問題は解くことが不可能です。

したがって、おそらく(A)の式が間違っており、正しくは
f(t)=t^2-2t-c=0…(A)’
だと推察されます。
この様に問題ミスを訂正すれば
必要十分条件を満たせます。
この時、必要十分条件は
f(0)>0,f(4)>0,f(1)<0となるので
-c>0,8-c>0,-1-c<0
∴-1<c<0　…（答え）
となります。

この時、xの8個の実数解が存在します。

以上から、問題のミスと思われますので、問題の書き込みミスでないか、或いは出題者の問題ミスでないか、確認してみてください。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ご指摘の通り、数式を書き間違えておりました。
正しくはf(t)=t^2－2t＋c=0でした。－と＋を入れ間違えていました。
なるほど、必要十分条件を考慮する問題でしたか。きわめて明快でわかりやすい解説をしていただき、本当にありがとうございます。
またお世話になるかもしれませんが、何卒よろしくお願いいたします。

回答No.3

noname#106147

よくf(t)のグラフとt(x)についててらしあわせて考えてください。
まずf(t)＝t^2+2t-c＝(t＋1)^2-1-cであるから
軸はt=-1。さらにt≧0だからf(t)＝0となるtというのは多くても一つしかもちません。さらにt=|x(x-4)|としてx≦0or4≦xのとき
x^2-4x=tとなるようなxが二つの異なる実数をもつようなtの領域をD1
0<x<4のとき-x(x-4)=tすなわち-x^2＋4x-t=0となるようなxが二つの異なる実数をもつようなtの領域をD2とすると
D1={t|t≧0}
D2＝{t|0<t<4}です(各自y=x^2-4xとy=tとおいて実際にグラフを書いて確かめてください。)
ここでtがD1もみたしてD2もみたしていればxが異なる4個の実数解をもつことになってそれが最大の個数です。
したがってD1もD2もみたすtの範囲は0<t<4なので0<t<4内で
f(t)＝0となるcの値を考える。そうするとグラフからf(0)<0かつ
f(4)>0となるcの値を定めればいいからうまく計算すると
0<c<24です。

お礼

ご回答ありがとうございます。
領域の条件を考慮して求めることができるのですね。私は単純に各々の関数が取りうる変域の共通な部分だけを考えていたようです。
また助けをお借りするかもしれませんが、よろしくお願いいたします。

回答No.1

Tacosan

「tが異なる４実数解をもつ」って, 「f(t)=0 が 4個の異なる実解を持つ」って解釈されてもしょうがないと思う.
t(x) のグラフを見れば, t(x) = a が 4個の異なる実解をもつ a の範囲が分かり, a が異なれば t(x) = a となる x はすべて異なることも見て取れます.
このことから f(t) = 0 の解は特定の範囲になければならないことになる.

お礼

ご回答ありがとうございます。
申し訳ございません、数式が間違っておりました。

補足

＞「tが異なる４実数解をもつ」って―
ご指摘ありがとうございます。またお世話になるかもしれませんが、よろしくお願いいたします。