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数学の問題がわかりません
数学の問題がわかりません 3次関数f(x)=x^3-3x^2+x-1と、点(1,-2)を通り傾きaの直線とが 異なる3個の共有点を持つためのaの範囲を求める問題と、 更にこのaがa>0の時、導関数f'(x)が描く曲線y=f'(x)とこの直線で囲まれる面積の問題がわかりません どっちかだけでもいいので、わかる方どうやって解くのか教えてください
- november74
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点(1,-2)を通り傾きaの直線の方程式は y=a(x-1)-2であるからその方程式と 3次関数f(x)=x^3-3x^2+x-1との異なる3個の共有点を持つためのaの範囲を求める。 g(x)=x^3-3x^2+x-1-{a(x-1)-2}とおいて g(x)=0となる異なる3個の解をもつaの範囲を考える。 xで微分した導関数g'(x)=3x^2-6x＋1-a=3(x-1)^2-2-a さらにx=1のときaの値に関係なくg(x)=0となることが保証されている。g'(x)=0となるxが異なる２つの解をもつためには-2-a<0 すなわちa>-2・・・・・(1) ここでg'(1)=-2-aだから(1)を満たせば自動的にg'(1)は0でない。 実は(1)を満たしただけで3次関数f(x)=x^3-3x^2+x-1と、点(1,-2)を通り傾きaの直線とが異なる3個の共有点を持つ。 これはちょっとヒントあげるとg(x)とg'(x)のグラフをてらしあわせて考えるとすぐにわかる。 a>0の時、導関数f'(x)が描く曲線y=f'(x)とこの直線で囲まれる面積を考える。f'(x)=3x^2-6x＋1、h(x)=3x^2-6x＋1-{a(x-1)-2}とおいて y=h(x)とy=0で囲まれる面積を求めればいい。 これはh(x)=0となる値をa,bなどとおいて ただしa<bとして、aからbまでh(x)を積分してさらに絶対値をつけた値が答えである。(これは自分でやってみてください)
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お礼
できました！ 詳しい解説ありがとうございました お二方もありがとうございました