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背理法とは対偶がその原理だと私は思っています。つまり対偶と背理法は基
MagicianKumaの回答
- MagicianKuma
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証明したい命題を Ａとします。多くの場合、ＡはＰ⇒Ｑの形をしています。 １．対偶を用いた証明 Ｐ⇒Ｑ を証明するのにその対偶 ￢Ｑ⇒￢Ｐ を証明すればＰ⇒Ｑを証明したことになる。 その根拠となるのが Ｐ⇒Ｑ ⇔ ￢Ｑ⇒￢Ｐ という恒真命題です。 (1) ２．背理法 Ａを証明するのにその否定￢Ａを仮定（真とすると）矛盾が発生すること示し、￢Ａが偽、つまりＡは真を導く方法です。 では、矛盾とはなにかというと、隠れていた公理や定義や証明済みの定理について、その否定が導かれたということです。 上記矛盾以外に、ＡがＰ⇒Ｑの形の場合は、Ｐは仮定として真とおきますから、証明の過程でＰの否定が導かれたということです。 たいていの背理法では、矛盾として上記が全てです。なので、公理等をＳ1,Ｓ2,Ｓ3,・・・Ｓnとおけば、 Ｐ⇒Ｑの￢(Ｐ⇒Ｑ) ⇒ Ｐ∧￢Ｑ ですから￢Ｑから推論して、￢Ｐ∨￢Ｓ1∨￢Ｓ2∨￢・・・∨Ｓn が導かれれば、対偶をとって Ｐ∧Ｓ1∧Ｓ2∧・・・∧Ｓn ⇒ Ｂ で対偶による証明と同じです。 ですが、背理法では、上記以外の矛盾として、その他の任意の命題（真偽はわかっていない）Ｘを持ってきて、証明の過程でＸと￢Ｘの両方が 導かれれば(排中律に反するので）最初に仮定した￢Ａが偽 すなわちＡは真 と導けかれるという考え方です。 その根拠となるのが ((￢Ａ⇒Ｘ)∧(￢Ａ⇒￢Ｘ)) ⇒ Ａ という恒真命題です。 (2) 背理法では、￢Ａを真と仮定して推論してますから、上記のＸが真とわかっている命題であれば、（２）の左辺の∧の１項目の(￢Ａ⇒Ｘ)は真です。 なので、２項目 ￢Ａ⇒￢Ｘ が導かれればＡが導かれたことになります。 ￢Ａは Ｐ∧￢Ｑにほかなりませんから、￢Ｑから出発する対偶による証明です。 結論をまとめると 対偶を用いた証明とは、恒真命題(2)でＸを真の命題として、左辺２項目だけを使い (￢Ａ⇒￢Ｘ) ⇒ Ａ を導く方法。 背理法とは、(2)の１項目と２項目が同時に成り立てば、Ａがなりたつを導く方法。
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