背理法と対偶証明の違いについて

質問

背理法と対偶による証明は同じと私は考えています。しかし、インターネットを含み、世間では違うというのが定説かのようです。

　従って、違うとお考えの方に、その理屈と根拠を教えて頂きたいのです。

回答No.24

B-juggler

全く違うアプローチになるかもしれません。
今日の今日（日付が変わっているので、昨日ですね＾＾）、
珍しく、学生君たちと話す機会がもてまして。

めったにないんですよ。私は非常勤ですし、今の時期って学生もいませんし。
　＃教授ならあるのでしょうが。
　＃私は流れ者でしかないので・・・。

数学者になるであろう連中と話していた結果を、つらつらと・・。

やはり「論理学」の分野は、数学だけではないですね。
図書館で　（例の式）を捜してみたのですが、やはりないです。

哲学のところに、「論理学」ってあったんですよ。
こっちのほうが、はるかに詳しく載っているんですよね。

数学で使う論理って、集合論の包含関係などがほとんどなんですね。

よくよく考えて、話をしてみて、
「命題に対して、背理法を使っていない」
って、気が付きました。

素数の無限性で　命題を作らないですね、そういえば。

「素数は無限にありますよ」って、定義を持ってくる。
これを正しいかどうか判断するのに、
「素数は無限にありませんよ」として、下記の方法で
新たに素数が出来る。　これで持って、定義の否定と違うことがでた！

だったら、定義したことが正しいんだ。
のようなやり方ですね。

学生君に指摘されて、自分でもびっくりしました。
　＃自分では気がつかないもんですね。

素数は無限　というのはいえます。
自然数と同じように、最大数に＋１をしていけば新しい自然数は作れますから。

これと同じとしていい事になっています。
　＃実際には全く同じです。

定理みたいなものとして扱っていいのでしょうね。

単位要素などと同じように。

～～～
●(2)式が素数の式なら良いのですが、Mn=37でもM=1407=201×7になります。
ここでの私の疑問の肝は、「どんな大きな数に対しても、それ以下の全ての素数を漏れなく選び出して掛け算できる」と言う事は、仮定するしかない。のてはと言う意味です。
とすれば無限に多くの素数がある事と同じだという意味です。背理法は不要です。
～～～
この疑問はよく上がるんですよ。

相当に次元の高い疑問が出てきますね。
　＃理系のＴＯＰクラスの疑問ですよ。

説明するのは難しいのですが。
一個一個、噛み潰すしかないですね。

簡単にいくと、
前にも書いていることですが、
＞２×３×５×７×・・・×Nn=Mnの次の素数をこの式で考えると・・・
Ｍｎ＋１（＝Ｍ）　が素数になり、Ｎｎ＜Ｍですよね。
ただ、この間に素数がありますから（ごく小さい二つのケース以外）、
これがＮｎの次の素数とはいえないですね。

このＭっていう素数は、無限を導き出すために作ってきただけの素数なんですよ。

これも裏業みたいな言い方になりますが、
Ｎｎの次の素数を、見つけ出して、それを最大として、
また素数を作ります。（見つかった素数）＞Ｍですね。

またその次を捜すんです。
また素数を作る。
繰り返すことで、Ｍより大きい素数がどんどん出て来ます。

地味～～な作業ですが、あるときに、次の素数はＭだ！って瞬間が来るんですね。
ここで引っかかる可能性があるんです。

Ｍの式がでていますから、引っかかりやすいのですが、
実は大丈夫で、一つずつ増えていった素数の集合ですから、
＞２×３×５×７×・・・×Nn×(Mn +1)+1=Mn×Mm +1=M
この式にならないんですね。
おそらく、
２×３×５×７×・・・×Nn×・・・・×Ｍ　＋１　＝Ｐｍ
　＃Ｐｍは　最大の素数Ｍから得られる、素数。
こうなるはずなんですね。

仮定でもありますが、一個一個噛み潰していけるという確証も持てます。

難しくなりすぎますねぇ＾＾；
　＃ここはそれだけ高度なんですよ。

～～～～
●そもそも素数の定義を含むA={素数Ns}の定義は、自然数の集合をNとして、
A＝{Ns：n,Ns∈N∧∀n(n＜Ns)⇒￢(Ns/n∈N))｝とでもするのが厳密でしょうか。
～～～～
任意の１以外の自然数に対して、割り切れない（自分自身を除く）
ｎ＝１のとき右辺がまずいですか。
左辺を　（ｎ＜Ｎｓ＋１）　右辺を　（Ｎｓ／（ｎ＋１））
こうしましょうか。
これだと、ｎ＝２から割っていって、Ｎｓ＝ｎ＋１にはなりませんね。

本筋に戻しますが、
「論理命題についての背理法」は数学ではあまり扱わない
のではないか？　っていう風に、話はまとまってしまいました。

記号もちょっと違いますね。
三本線のイコール　≡　これ　恒等的に等しい　とします。
同値は　⇔　こっちなんですよね。
論理学の本では、⇔と≡　とが　違っていたりするようです。

例の式　Ψとか、φの式は、おそらく論理学専門なのかなぁ？
と思ってみたりしました。

お礼

●前の式は間違っていたようです。下記が正しいでしょうか。ご検討を。
＞そもそも素数の定義を含むA={素数Ns}の定義は、自然数の集合をNとして、
・・・・・

●A＝{Ns：1≠Ns∈N, 1≠n∈N∧∀Ns［∀n((n＜Ns)⇒￢∃n(Ns／n∈N))｝とするのが厳密でしょうか。
こうすればNsは1と自分自身意外で割れない数だけの集合になります。

●1≠Ns∈N なる自然数Nsが、n＜Nsのnの(1を除く)全てについて、Ns／n∈Nが存在しない(自然数にならない、つまり割り切れない)場合に、この集合Aの要素になります。
・・・という意味での作成です。
**素数の数学的定義か在るのか、どうかは知りませんが・・・。
●これが正しければ、ことさら背理法などを使わなくてもNs∈Nを次々に選ぶので、無限集合だと出てきそうです。素数のアルゴリズムは知りませんが、2から順次増やして行き元の数以下の自然数で割って、剰余が0になるものを除けば素数は出そうです。・・・とすれば単純な計算で、処理時間はともかく原理的には簡単な計算で次々求められます。
●背理法の式? との信奉者がいる、((A⇒￢B)∧(A⇒B))⇒￢A 、￢(A⇒￢B)⇒(A⇒B)などは論理回路で実現すると、( )の外側の⇒の部分は論理和回路に対応し、最終出力は( )内の回路からの信号伝達とは無関係になります。つまり物理的にもトートロジーは因果関係がなくなります。と言う事は、トートロジーが論理的な真理を表す筈がない事になります。
この話は、旧友との議論中に思いつきました。計算機回路設計は仕事でした事も有りますので。一般的ではなくなりますが。
●(￢A⇒￢B)⇒(A⇒B)などは (A⇒B)⇒(￢A⇒￢B)でもあり⇔とも書けますし、真理値表から言えば同値として≡とも書くのは著者にもよります。同値な⇔は回路も⇔の左右同一になります。

補足

前回の最終行ミスです・・・
××●(￢A⇒￢B)⇒(A⇒B)などは (A⇒B)⇒(￢A⇒￢B)でもあり⇔とも書けますし、真理値表から言えば同値として≡とも書くのは著者にもよります。同値な⇔は回路も⇔の左右同一になります。

●(￢B⇒￢A)⇒(A⇒B)などは (A⇒B)⇒(￢B⇒￢A)でもあり・・・が正しいのです。
●≡は真理値表から見た場合に同じに扱える場合に使い、著者によります。これは結局どちらも同じになります。
(1)￢(A⇒￢B)⇒(A⇒B)≡Tは(2)￢(A⇒￢B)⇒(B⇒A)≡Tも成立し、(A⇒B)と(B⇒A)のいわゆる≡でも⇔でもない、所謂逆命題が同一の前提￢(A⇒￢B)から出てくるという事を示しても、かたくなに信じている人がいます。是非こんなアホ学生を作らないでください。
●旧友(数論が趣味で、憲法9条の会員)と議論の末に物別れになったのも、憲法論議で『どこかの国の紛争が日本にも及ぶ可能性がある』と言う私の主張に対して、お前の論理は『背理法』で云々から始まり、「では反対するなら、それと同値な、『すべての国際紛争は日本に無関係だ』を証明できるのか・・・」となり、記号論理的な議論にまでなりました。一見現世には無関係に見える論理学も、このように社会問題等の異見に現れるものですから・・・。