ラグランジュ乗数法(不等式制約)

質問

ラグランジュ乗数法を使って
関数f(x,y)=-x^2+4x-y^2+2y-5
を以下の3つの制約条件の下で最大にする。
(1)g(x，y)=x+y-4≦0　x≧0，y≧0
(2)g(x，y)=x+y-2≦0　x≧0，y≧0
(3)g(x，y)=x+y-1/2≦0　x≧0，y≧0

(1)では(x,y)=(5/2，3/2)
(2)では(x,y)=(3/2，1/2)
(3)では,普通にラグランジュ乗数法を使って解くだけだと(x,y)=(3/4，-1/4)となりますが、非負制約を満たしません。
どなたかよろしくお願いします。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

f(x,y)＝-x^2+4x-y^2+2y-5＝-{(x-2)^2+(y-1)^2}
は，点(2,1)からの距離（の２乗）の減少関数なので，点(2,1)に最も近い点で最大．

すると(3)では「（x,y)=(1/2,0)のとき最大」でしょう．

お礼

早速の回答ありがとうございます。
私もやってみてそうではないかと思いました。
ラグランジュの未定乗数を使って、機械的に解くとどうやって(x,y)=(1/2,0)を出せるでしょうか？
ラグランジュ乗数を使うための練習問題なので。
クーン・タッカーの条件をうまく使いたいのですが…

回答No.2

oshiete_goo

クーン＝タッカー条件というものは全く初めてです．

h(x,y)＝－g(x，y)＝1／2－(x+y)≧０・・・（＊）
と定義して，

ラグランジュ関数Ｌ＝f＋μ(h－s)
（ただし，s＝h(x,y)はスラック変数，μはクーン＝タッカー乗数[≒ラグランジュ乗数]）

に対して形式的に適用すると，６本の不等式と３本の等式(相補条件)が書けるようですね．

ラグランジュ乗数と区別して，クーン＝タッカー乗数μと書けば，μ≧０の条件もつきますが，μ＝０と仮定すると，ｘ≧２，ｙ≧１となって（＊）に反します．

よって，μ＞０ですが，すると相補条件の一つよりｇ＝０⇔ｘ＋ｙ＝1/2 が出ます．

後はまともに解くよりは　x≧0，y≧0 を考えて　f(x,y)を１文字で表して最大値を出す手が考えられますが，練習のためならば頑張ってみてもよいでしょう．

以上，導出の詳細については責任は負えませんので，ご自分でお確かめ下さい．

お礼

ありがとうございました。
参考になりました。