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行列式の意味
protoの回答
行列式の意味にはいろいろな立場から複数の解釈があると思いますが、その中の一つとして、行列式は線型変換の"倍率"であると言えます。 行列が線型変換を表すというのは御存じでしょうか？ いま2×2行列Aと、2次元ベクトル(x;y)があったとします。 ベクトルに行列を左から掛けて (u;v) = A(x;y) とすると新たな2次元ベクトル(u;v)が得られますが、これを(x;y)がAによって(u;v)に変換された(写された)と考えます。 Aという行列は様々な(x;y)をそれぞれの(u;v)に変換するので、x-y平面をu-v平面に変換しているとも考えられます。 行列が行う変換はいわゆる線型変換ですから、原点中心の拡大縮小か剪断のみです。 ですから行列によって平面を別の平面に変換したときも、変換前の平面と変換後の平面は、それぞれの軸の目盛りの幅が違ったり二つの軸の交わる角度が違ったりというような違いがあります。 さてここからが本番です。 いまx-y平面上で二つのベクトル(a;b),(c;d)を考え、この二つのベクトルによって作られる平行四辺形を考えます。 それぞれのベクトルを行列Aで変換して、 (p;q) = A(a;b) (r;s) = A(c;d) によって、新たなベクトル(p;q)と(r;s)が得られました。 そうしてこの新たな二つのベクトルによって作られる新たな平行四辺形を考えてみます。 特に注目するのは平行四辺形の面積が変換によってどう変わるかです。 結論から言うと、行列Aで平面を変換した結果、変換後の平行四辺形の面積は変換前の面積より|A|倍に引き延ばされていると言えるのです。 これは"ある平行四辺形"に対してだけの話ではなく、Aという変換によって平面全体が(大きさの目安として)|A|倍に引き延ばされたと考えられるのです。 (といってもただ拡大されたのとは違いますよ。剪断がありますから。) なぜそんな事が言えるのか、それはx-y平面における単位ベクトル(1;0),(0;1)が作る単位平行四辺形を線型変換してみて、変換後のu-v平面における単位平行四辺形の面積を求めて見ればわかるでしょう。 それはご自身でやってみてください。 いままでのは2次元平面での話でしたが、これをn次元に拡張することもできます。 n×n行列Aによって、n次元ベクトル空間から別のn次元ベクトル空間への変換をかんがえたとき、もとの空間での図形の体積は変換後には|A|倍に引き延ばされています。 線型変換Aと変換の倍率|A|が対応しているわけです。
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