数Ｃの行列です。

質問

質問です。

ある定数ａに対して,
-２ｘ-ｙ=ａｘ
５ｘ+４ｙ=ａｙ

を満たす点(ｘ,ｙ)の描く図形は直線である。
定数ａの値とその直線の方程式を求めよ。

岡山理科大(00)

の問題でなぜ逆行列が存在しなければ,(-２-ａ)(４-ａ)-(-１)*５=０を用いる理由を教えて下さい。

あと他の問題で逆行列が存在すれば解が１つとか
よく分かりません。
考えたら分かるのですが,イメージがつきません。

教えて下さい。
ちなみに定数ａの値は-１と３です。

回答No.2

info22

>
この前の行列の質問の合成変換についても教えていただけると嬉しいです。

> http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4781583.html
のことですか？
回答を送信しようとしたら、直前に締め切られて投稿できませんでした。
せっかちにすぐ質問を締め切られると回答も出来ません。
納得いく回答が出揃ってから締め切るようにして下さい。

折角、質問者さんから補足質問がありましたのでこの場を借りて
> http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4781583.html
の合成についての補足をしておきます。

線形座標変換（アフィン変換）には、行ベクトルと列ベクトルを使う方法がありますので、どちらかに統一してアフィン変換行列の合成（行列の積をとること）を取り扱う必要があります。
ここでは、列ベクトルで扱うことにします。
点(x,y)を-θ回転した座標を(x1,y1)とすると
最初の点の座標を列ベクトルで
(x)
(y)
とおくと
-θ回転(時計周りにθ回転)の変換は
(x1)
(y1)=
( cosθ　sinθ)(x)
(-sinθ　cosθ)(y)
次に(x1,y1)をx軸対称移動した点の座標を(x2,y2)とおくと
(x2)
(y2)=
(1　0)(x1)
(0 -1)(y1)
次に点(x2,y2)を＋θ(反時計回りにθ回転)した点の座標を(X,Y)とおくと
(X)
(Y)=
( cosθ　-sinθ)(x2)
( sinθ　 cosθ)(y2)
以上の操作で直線y=x*tanθに対して点(x,y)が点(X,Y)に対称移動したことになります。
３つの行列の変換式を順に代入して行列式の積をとれば、対称移動の合成変換行列が得られます。
(X)
(Y)=
( cosθ　-sinθ)(x2)
( sinθ　 cosθ)(y2)=
( cosθ　-sinθ)(1　 0)(x1)
( sinθ　 cosθ)(0　-1)(y1)=
( cosθ　-sinθ)(1　 0)( cosθ　sinθ)(x)
( sinθ　 cosθ)(0　-1)(-sinθ cosθ)(y)=
M*
(x)
(y)
ここで合成変換行列Mは
M=
( cosθ　-sinθ)(1　 0)( cosθ　sinθ)
( sinθ　 cosθ)(0　-1)(-sinθ cosθ)=
( cosθ　 sinθ)( cosθ　sinθ)
( sinθ　-cosθ)(-sinθ cosθ)=
( cos^2θ-sin^2θ　 2sinθcosθ)
( 2sinθcosθ sin^2θ-cos^2θ)=
( cos(2θ)　 sin(2θ))
( sin(2θ)　-cos(2θ))
となります（前質問での2,1要素の符号を－と書きましたが＋でよかったので訂正の投稿をしましたが〆切済みでした）。
このM（合成ベクトルgに対応）は
M=
( cos(2θ)　 sin(2θ))
( sin(2θ)　-cos(2θ))=
( cos(2θ)　-sin(2θ))(1　 0)
( sin(2θ)　 cos(2θ))(0　-1)　…(■)
または
(1　 0)( cos(2θ)　sin(2θ))
(0　-1)(-sin(2θ)　cos(2θ))　…(●)
と変形できるので
■の意味する所は
点(x,y)をx軸対称に移動後、原点を中心に＋2θ（反時計回りに2θ）回転移動した点(X,Y)に対する合成移動行列にM(g)が等しい。
ということです。
また
●の意味する所は
点(x,y)を原点を中心に－2θ（時計回りに2θ）回転移動後、x軸対称に移動した時の点(X,Y)に対する合成移動行列にM(g)が等しい。
ということでもあると言うことです。

お礼

前の質問は他の回答で納得いったので締め切りました。
すいません。

理解はできたので問題の解説は十分なのですが,
前のinfo22さんの回答の(合成変換ではない)意味がよくわからなかったので,お礼に書きました。

合成変換はｇ・ｆで
どこにも間違いはなかったのではないでしょうか?

度々すいません。

回答No.1

info22

>逆行列が存在しなければ,(-２-ａ)(４-ａ)-(-１)*５=０を用いる理由を教えて下さい。
２つの方程式はいずれも原点(0,0)を通る直線の方程式ですね。
逆行列が存在しないという条件は２つの方程式が一致して、方程式が１つしかなくなるということと同じです。
方程式が一致する条件が
(-２-ａ)(４-ａ)-(-１)*５=０です。
左辺は、方程式を行列式を使って解く時の係数行列の行列式です。
これがゼロであれば逆行列が存在しません。
この式から求まるa=-1とa=3をそれぞれ元の２つの方程式に代入すると
２つの方程式はそれぞれ一致してしまいます。
ということですね。
つまり、
(-２-ａ)(４-ａ)-(-１)*５=０
はもとの２つ方程式のグラフが同じになる（一致する）ための条件です。
方程式的には、不定形つまり、方程式が一致して連立方程式が解けなくなる条件ともいえます。
a=-1やa=3を代入すれば、２つの方程式が一致した時の直線の方程式がそれぞれ出てきます。

>あと他の問題で逆行列が存在すれば解が１つとか
逆行列が存在するということは、２つの方程式が異なる直線になることを意味します。このことは、それぞれの方程式が独立であり、必ず交点を持つ、すなわち解ける（解をもつ）ことを意味します。
今の問題では原点(0.0)の座標が２直線の交点（方程式の解）ということです。これ以外の交点はもちろん存在しません。

お礼

毎回,
ありがとうございます。

この前の行列の質問の合成変換についても教えていただけると嬉しいです。

よろしくお願いします。