• ベストアンサー

大学のテスト勉強の数?の定積分でわからないとこがあり、困ってます。

大学のテスト勉強の数?の定積分でわからないとこがあり、困ってます。 (1)∫tanxdx x:0→π/4 (2)∫tan（-1乗）xdx x:0→1 (3)∫1/(3x+1)dx x:0→1 答え (1)2/1log2 (2)π/4-1/2log2 (3)2/3log2 です。 わかる方がいたら教えてください！！

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.3

(1)答え間違い ∫[0→π/4] -(cos(x))'/cos(x)dx=[-log(cos(x))] [0→π/4] =log√2=(1/2)log2 (2) I=∫[0→1] arctan(x)dx tan(t)=xと置換積分するとdx=dt/(cos(t))^2, x:[0→1]→t:[0→π/4]なので I=∫[0→π/4] t/(cos(t))^2dt 部分積分して =[t*tan(t)] [0→π/4] -∫[0→π/4] tan(t)dt =π/4-(1/2)log2 (∵(1)の結果利用) (3) I=∫[0→1] 1/(3x+1)dx=(1/3)∫[0→1] 3/(3x+1)dx =(1/3)[log(3x+1)] [0→1] =(1/3)log4=(2/3)log2

tamamori
質問者

お礼

丁寧にありがとうございます！ 無事三題とも解けました(^O^)／

その他の回答 (2)

  • htms42
  • ベストアンサー率47% (1120/2361)
回答No.2

全部教科書に載っているような問題だと思います。 （３）がわからないようであれば（１）（２）はわかりません。 ∫(１／ｘ)ｄｘ＝ｌｎ(ｘ) です。 ｌｎは自然対数です。ｌｏｇという表現には注意が必要です。

  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)
回答No.1

(1) tanx = sinx/cosxと変形しましょう。 後は分母をuとおいて置換積分してください。 (2) 「tan（-1乗）x」というのは1/tanxのことでしょうか？ それともtanの逆関数(arctan)でしょうか？ 前者なら、(1)とほとんど同じです。 後者なら、∫logxdxの不定積分の求め方と同様の方法で解けます。 (3) 分母をuとおいて、置換積分しましょう。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • ∫[1→0]tan＾(-1)xdxの定積分です

    ∫[1→0]tan＾(-1)xdxの定積分です 以下のように解いて見たんですが まず， ∫tan＾(-1)xdx =∫(x)'tan＾(-1)xdx =xtan^(-1)x-∫{x/(1+x^2)}dx =xtan^(-1)x-1/2∫{2x/(1+x^2)}dx =xtan^(-1)x-1/2log(1+x^2) =xtan^(-1)x-log√(1+x^2) となるので[xtan^(-1)x-log√(1+x^2)][1→0]を求める [xtan^(-1)x-log√(1+x^2)][1→0] ={tan^(-1)-log√2}-1 =-3/2-log√2 と解きました。途中式・解答はあってますか？添削をお願いします。

  • 定積分なのですが最後のほうがわかりません。

    範囲　[0→π/4]　の定積分です。 　∫tan^3xdx が解けません。 　回答には 1/2(1-log2) となっています。 　何とか一歩手前の[-(1/2)t^(-2)-log|t|] 　まで解けました。 　tに範囲 [1/√2→1] を代入するのですが 　ここからよくわかりません。 　どなたか詳しく教えてください。

  • 定積分、不定積分

    解析。以下の問題教えてください 次の定積分、不定積分を求めよ。(2)は上端にπ/6下端に0です (1)∫xe^(2x) dx (2)∫π/6 xsin3x dx 0 (3)∫x^3log dx (4)∫x^2e^(2x) dx

  • 定積分で・・・

    次の問題が、答えがでません。 ∫0からe log(e+x)dx で、∫0からe　(x')log(e+x)dxまでもっていくのは、解るのですが、 そこから先を計算しても、答えにたどり着きません。。 教えてもらえれば助かります(>_<)

  • 定積分 疑問

    定積分 疑問 定積分の値が負の値になることはありますか？ 例題として、y=x^3を0から-1の範囲で積分する。 ∫[0→-1](x^3)dx=[1/4x^4][0→-1]=1/4 です。 グラフを書いてみると、x^3は0→-1の範囲でx軸の下にあります。 そして、y軸と囲まれていません。 面積ないはずなのに値があるのはなぜでしょう？ また、これは負の値になるのではと思ったのですがどうなのでしょうか？ また、積分範囲が0→-1と-1→0 では、答えが同じになるのですが、 グラフ上で求めている面積の場所はどこなのでしょうか？

  • 定積分で表された関数

    こんばんわ。 定積分で表された関数のところで 積分と微分の関係 d/dx∫[a→x]ｆ(t)dt=ｆ(x) ただし、aは定数。 っというのは知っているのですが d/dx∫[φ(x)→ψ(x)]ｆ(t)dt　はどうなるのですか？ 初歩的なことだろうと思いますが、教えてください。

  • 積分です

    (1)∮1/tan4xdx (2)∮｛e^5x+(1-x^2)/x｝dx (3)∮cos(tank)/cos^2xdx (4)∮(1→e)(logx-x)^2dx (5)∮(1→2)e^x/e^x-1dx 朝テストで出たのですが分かりませんでした。 一問ずつでも良いので、 どなたか教えてくださいませんか？

  • 定積分で表された関数

    a>0,t>0に対して、定積分S(a,t)=∫[0→a]|e^(-x)-1/t|dxを考える。 (1)aを固定したとき、tの関数S(a,t)の最小値m(a)を求めよ。 　　m(a) (2) ―― ―――→ を求めよ。 a (a→0) この問題が分かりません。 出典は東京工業大学2001です。 詳しい解答がついてると助かります。 お願いします。

  • (至急)数学の不定積分の問題

    以下の不定積分を求めて下さい。 途中の式もお願いします。 (１)∫√(e＾x－１)ｄｘ (２)∫x／cos^2xdx 答え (１)2{√(e^x-1)-tan^-1√(e^x-1)｝ (２)xtanx＋log(cos ←すいません、ここは文字が見えませんでした。

  • 置換積文の添削お願いします

    置換積文を用いて求めよ （1）∫3/2→2 (2x-3)^3dx 答え　1/8 （2）∫0→1 √4-3xdx　 答え　-14/9 （3）∫0→π/3 sin(1/2x-π/6)dx　 答え　-2-√3 （4）∫-2/3→0 e^3x+1dx 答え　e/3-1/3e （5）∫0→2 1/(2x+1)dx 答え　1/2log5

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する