点と直線の距離

質問

点（x1,y1)と直線ax+by+c=0の距離dの公式は、
　　d=|ax1+by1+c|/(√a^2+b^2)
となることは理解できますが、ある問題集の解答に、
「点（x1,y1)が直線ax+by+c=0より上にある場合の距離は、
　　d=ax1+by1+c/(√a^2+b^2)
と表せる」
との説明がありました。（分子の絶対値が取れている）
なぜそうなるのかよくわかりません。
どなたか解説していただけませんでしょうか。

回答No.4

Mr_Holland · ベストアンサー

＃２です。
　補足を拝見しました。
　正確を期すため長い該当箇所を記載された姿勢に感心しました。
　お陰でよりよく考えることができます。

＞xsinθ＋ycosθ－sinθcosθ＝0
＞よって　h＝｜asinθ＋acosθ－sinθcosθ｜/√(sin^2θ＋cos^2θ)
＞＝｜asinθ＋acosθ－sinθcosθ｜
＞　　『点ＰはＬより上側にあるから
＞　　asinθ＋acosθ－sinθcosθ＞0
＞　　ゆえに　h＝a(sinθ＋cosθ)－sinθcosθ』

　確かに質問者さんのような誤解を招きやすい表現ですが、この記述であれば誤りはありません。
　この問題では、直線ｙの係数　cosθ は　正　であることが保証されています（0<θ<π/2）ので、解説のように絶対値を外すことができます。

＞　　（欄外注：y＞f(x)の表す領域は、曲線y＝f(x)より上側の部分。)

　この記述が、y=f(x)より上にあるか否かの判断基準になります。
　従って、直線の方程式が　ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０　と書かれている場合は、左辺の正負だけで上側にあるか否かは判断できませんので、直線の方程式を　ｙ＝ｍｘ＋ｎ　という形に書き直して判断する必要があります。
　もし、ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０　の形で判断する場合は、ｂの符号も追加して考えなければなりません。

　＜ある点(p,q)が直線：ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０　より上側にある条件＞
　　ｂ＞０のとき　ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＞０
　　ｂ＜０のとき　ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＜０

＃　　byron_bayさんには無用のことかと思いますが、私を含めて、中には思い込みの強い回答もありますので、回答内容は質問者自身さんがよく吟味してくださいね。

お礼

更なるご説明ありがとうございました。
ご説明に基づき自分なりに整理した考えを補足欄に記入しましたので、ご覧ください。

補足

このような理解でよろしいでしょうか。
一概に「点（x1,y1)が直線ax+by+c=0より上にある場合の距離は、d=ax1+by1+c/(√a^2+b^2)と表せる」とはいえない。
d=ax1+by1+c/(√a^2+b^2)と表せるのは、以下の場合である。
i) b＞0かつ、(x1,y1)がax+by+c=0より上にある場合
ii) b＜0かつ、(x1,y1)がax+by+c=0より下にある場合
iii) b＝0、a＞0かつ、(x1,y1)がax+by+c=0　（ax+c=0）より右にある場合
iv) b＝0、a＜0かつ、(x1,y1)がax+by+c=0　（ax+c=0）より左にある場合

回答No.5

Mr_Holland

＃４／＃２です。
　お礼＆補足を拝見しました。

＞一概に「点（x1,y1)が直線ax+by+c=0より上にある場合の距離は、d=ax1+by1+c/(√a^2+b^2)と表せる」とはいえない。
＞d=ax1+by1+c/(√a^2+b^2)と表せるのは、以下の場合である。
＞i) b＞0かつ、(x1,y1)がax+by+c=0より上にある場合
＞ii) b＜0かつ、(x1,y1)がax+by+c=0より下にある場合
＞iii) b＝0、a＞0かつ、(x1,y1)がax+by+c=0　（ax+c=0）より右にある場合
＞iv) b＝0、a＜0かつ、(x1,y1)がax+by+c=0　（ax+c=0）より左にある場合

　この理解でよいと思います。
　ｂ＝０の時まで考えを深められるとは流石ですね。

　ちなみに、分数の表記についてですが、テキスト形式のこのサイトでは、分子や分母の範囲が「／」だけでは限定できませんので、単項式でない場合は、括弧などで範囲を指定してくださいね。

　　d=ax1+by1+c/(√a^2+b^2)
　⇒d=(ax1+by1+c)/(√a^2+b^2)

お礼

質問へのご説明に加え、いろいろとご助言いただき、ありがとうございました。

回答No.3

mister_moonlight

点（x1,y1)が直線ax+by+c=0より上にある場合は、ax1+by1+c＞0だから、d=（ax1+by1+c）/(√a^2+b^2)　で良い。

点（x1,y1)が直線ax+by+c=0より下にある場合は、ax1+by1+c＜0だから、d=-（ax1+by1+c）/(√a^2+b^2)　で良い。

それが絶対値の意味だろう。
＃2の回答は、絶対値の意味が分ってないんじゃないか？

回答No.2

Mr_Holland

その問題集の解答はおかしいですね。

　たとえば、直線：ｘ－ｙ＝０　より上にある点（０，１）について考えますと、

　　ax1+by1+c＝－１＜０

となり、ax1+by1+c　が正でなくなってしまいます。

　直線の方程式が　ｂ＞０　となるように記述されているときには通用しますが、一般には　ｂ＞０　とは限らないので、その問題集の解答は誤っていると見た方が良さそうです。

お礼

ご説明ありがとうございます。
もしかしたら私の理解不足のため誤った質問をしたかもしれません。
補足欄に疑問に思った問題と答を記載しましたのでご覧ください。

補足

以下に疑問に思った問題と回答を引用します（青チャート改訂版数IIＢの数II総合演習問２２です。）(2)の解答の『　』部分が納得いきません。
問　aをa>1を満たす定数として、座標平面で点Ｐ(a,a)を考える。x軸の正の部分に点Ａ、y軸の正の部分に点Ｂがあり、線分ＡＢの長さは１とする。２点Ａ、Ｂを通る直線をＬとする。
(1) 点Åの座標を(cosθ,0)とするとき、直線Ｌの方程式を求めよ。
　　ただし、0<θ<π/2とする。
(2) 点Ｐと直線Ｌの距離hをθで表せ。
答　
(1) 原点をＯとする。ＡＢ＝1、ＯＡ＝cosθであるから、∠ＢＡＯ＝θ
よってＯＢ＝sinθであり、Ｂ(0,sinθ)
したがって、Ｌの方程式は
(x/cosθ)＋(y/sinθ)＝1
(2) (1)で求めた方程式を変形すると
xsinθ＋ycosθ－sinθcosθ＝0
よって　h＝｜asinθ＋acosθ－sinθcosθ｜/√(sin^2θ＋cos^2θ)
＝｜asinθ＋acosθ－sinθcosθ｜
　　『点ＰはＬより上側にあるから
　　asinθ＋acosθ－sinθcosθ＞0
　　ゆえに　h＝a(sinθ＋cosθ)－sinθcosθ』
　　（欄外注：y＞f(x)の表す領域は、曲線y＝f(x)より上側の部分。)

回答No.1

koko_u_u

「点（x1,y1)が直線ax+by+c=0より上にある」を数式で表現して補足にどうぞ。