複素数の問題です。

質問

複素数の問題です。

複素数abc をA=a+b+c、B=a+bω+cω^2、C=a+bω^2+cω (1+ω+ω^2=0)としたとき、
abcをABCで表せという問題ですが…

A+B+C=3a+b(1+ω+ω^2)+c(1+ω+ω^2)=3a
a=(A+B+C)/3

はすぐわかるのですが…
bとcについてどうしたらいいのか分かりません。

取りあえず、aを消去する必要があるので、
Bω^2=aω^2+bω^3+cω^4
Cω=aω+bω^3+cω^2
を考えていくと、
A+Bω^2+Cω=a(1+ω+ω^2)+b(1+2ω^3)+C(1+ω^2+ω^4)

(1+ω+ω^2=0)よりω^2=-1-ω、ω^4=(1+2ω+ω^2)
なのでC(1+ω^2+ω^4)=C(2+2ω+2ω^2)=0

ω^2=-1-ωより、ω^3=-ω-ω^2
b(1+2ω^3)=b(1+2(-ω-ω^2))=b(1+2(-ω-(-1-ω)))=3b
b=(A+Bω^2+Cω)/3

となりましたが、もうちょっとスマートな解法はないのでしょうか？
ご指導願います。

回答No.1

KitCut-100 · ベストアンサー

オメガの問題ですが、オメガは 三乗根の解です。x^3=1の解です。
x^3=1 (x-1)(x^2+x+1)=1の解です。つまり三乗すれば1となります。
ですので ω^4=ω です。 これを覚えておいて
A = a + b + c
Aω = aω + bω +cω
Aω^2 = aω^2 + bω^2 +cω^2

B = a +bω + cω^2
Bω = aω +bω^2 +c
Bω^2 = aω^2 +b +cω^2

C = a +bω^2 + cω
Cω = aω +b + cω^2
Cω^2= aω^2 +bω + c
を作っておいて、 というより、ωの問題では、これらの式は常識的にでｔきます。
あとは必要に応じて組みあわして、問題に解答するだけです。

お礼

有難うございます。
そういえば、カルダノか何かでωを見たことがありました。
すっかり念頭にありませんでしたよ。

回答No.3

sanori

再びお邪魔します。
先ほどはＮｏ．１の方とほぼ同時刻投稿で後塵を拝しました（笑）

質問者様の今後のことを考え、解説をしておきます。

オイラーの公式というものがあります。
ｅ^(iθ)　＝　cosθ　＋　ｉ・sinθ
これを念頭において・・・

ｘ^3　＝　１　の解は３つあり、
あ）　１　（　＝　ｅ^(i・2nπ)　＝　cos（２ｎπ）　＋　ｉsin（２ｎπ）　）

い）　ｅ^(i(2/3・π+2nπ))　＝　cos（２／３・π　＋　２ｎπ）　＋ ｉsin（２／３・π　＋　２ｎπ）
　＝　－１／２　＋　√３／２・ｉ

う）　ｅ^(i(4/3・π+2nπ))　＝　cos（４／３・π　＋　２ｎπ）　＋ ｉsin（４／３・π　＋　２ｎπ）
　＝　－１／２　－　√３／２・ｉ

です。

ここで、
（い）のことを、特にωと呼ぶ習慣があります。
（う）はω^2と等しいです。
そして、ｘ^3 ＝ １ の解なので、どちらも３乗すると１となります。

（あ）を３乗すると
ｅ^(i・2nπ×3)　＝　cos（２ｎπ×３）　＋　ｉsin（２ｎπ×３）
　＝　cos（０）　＋　ｉsin（０）
　＝　１　＋　０・ｉ
（　＝　１　）

（い）を３乗すると
ω^3　＝　ｅ^(i(2/3×3・π+2nπ×3)
　＝　cos（２／３・π×３　＋　２ｎπ×３）　＋ ｉsin（２／３・π×３　＋　２ｎπ×３）
　＝　cos（２π　＋　６ｎπ）　＋ ｉsin（２π　＋　６ｎπ）
　＝　cos（０）　＋ ｉsin（０）
　＝　１　＋　０・ｉ

（う）を３乗すると
ω^6　＝　ｅ^(i(4/3・π+2nπ×3)
　＝　cos（４／３・π×３　＋　２ｎπ×３）　＋　ｉsin（４／３・π×３　＋　２ｎπ×３）
　＝　cos（４π　＋　６ｎπ）　＋　ｉsin（４π　＋　６ｎπ）
　＝　cos（０）　＋ ｉsin（０）
　＝　１　＋　０・ｉ

複素平面で上の３点をプロットしてみれば、感覚的によくわかると思います。
絶対値が１の複素数を掛け算するというのは、複素平面で原点（０，０）の周りを回転させるということなんですね。

ｅ^iθ　は、半径１の円の方程式のようなものです。

お礼

有難うございます。
参考になりました。

ベストアンサーは先に回答いただいた方にさせていただきます。

回答No.2

sanori

こんにちは。

ω^3 ＝ １　ですので、それを利用すればよいと思います。

お試しください。

ご参考に。

お礼

有難うございます。
そういえば、カルダノか何かでωを見たことがありました。
すっかり念頭にありませんでしたよ。