サイクロイド曲線

質問

高校で習っているのですがどうしてもとけません(-_-;)
どなたかお答えいただけると幸いです。

(１)、aを正の定数とするとき、次のサイクロイド曲線の長さｔを求めよ
x=a(t-sin t) y=a(1-cos t) (0≦t≦2π)
(２)、(１)のサイクロイド曲線をｘ軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ
(３)、(２)の回転体の表面積(側面積)を求めよ
どうぞよろしくお願いしますm（*_ _）m

回答No.3

mis_take

具体的に f(x) を書くことはできませんが
y=f(x)
と思ってください。

そうすると，たとえば(2)は
Ｓ＝π∫(f(x))^2dx （積分範囲は x=0～2π）
ここで
x=a(t-sin t)
で置換積分します。
f(x)=y=a(1-cos t) ←　これがポイント
dx=a(1-cos t)dt　　← たまたまｙと同じ
積分範囲は，t＝0～2π　←　たまたまｘの範囲と同じ
ゆえに
Ｓ＝π∫a^3(1-cos t)^3dt　（積分範囲は t＝0～2π）
　：
　：
のようになります。

回答No.2

info22_

次のサイトにサイクロイド曲線の図と(1),(2),(3)の答えの式が載っています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%82%A4%E3%83%89
変数は別の英字になっていますので、置き換えてください。
(1) L=8a
(2) V=5(π^2)a^3
(3) S=(64/3)πa^2

いずれも教科書に載っている基本的な積分公式から求められますので、教科書の該当箇所を復習してください。

お礼

回答ありがとうございます。なんとかといてみます！

回答No.1

naniwacchi

「線の長さ」「体積」「面積」と積分の応用がきれいに並んでいます。
いずれも基本的な考え方は、「細かいものを寄せ集める（足し合わせる）」ということです。

(1) 線は短い線の寄せ集めと考えます。
微小な線の長さは、三平方の定理を用いると
√{ (dx/dt)^2+ (dy/dt)^2 }* dt

と表すことができます。
これを tについて足し合わせる（積分する）ことになります。

(2) 体積は、薄切りの寄せ集めと考えます。
回転体の場合は、輪切りの寄せ集めです。
xにおける断面積を s(x)とすると、「厚み」を微小な dxとして
V= ∫ s(x) dx

と表すことができます。

(3) 表面積は、輪切りの「皮」を寄せ集めます。
回転体の場合、(半径が yの円周)×(厚み：dx)が輪切りの皮になります。
よって、
表面積：S= ∫ πy^2 dx

と表せます。

計算上の工夫としては
(1)では、倍角公式（半角公式）を使って、√をはずします。
(2)、(3)は、置換積分の考え方で積分変数を dtに置き換えることになります。

サイクロイドがどのような曲線かも把握しておくとよいでしょう。
（グラフを描いてみましょう。）