問題式が少し違いますね。
a^3+b^3+c^3-3abc
でしょう。
それからこれは交代式ではなく対称式です。
a^3-b^3 のようにa,bを入れ替えると全体の+-が入れ替わる式が交代式
a^3+b^3 のようにa,bを入れ替えても変わらない式が対称式です。
だから問題の式はａ，ｂ，ｃのどれを入れ替えても変わらない
対称式です。
さて問題の式ですが
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
と因数分解できます。右辺を展開すれば＝であることは
わかります。これは公式として覚えていれば良く、因数分解の仕方を
途中式を入れてやってもメリットはありません。
一応書いて見ますが途中式を普通書く必要はありません。
a^3+b^3＝(a+b)^3-3ab(a+b) は良いですね。
これも受験生レベルの生徒なら知っているべき式です。
（もし知らないのなら、３乗を展開して確認して覚えてください。）
a^3+b^3+c^3-3abc＝(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc
ここで(a+b)^3+c^3 を x^3+y^3 の因数分解の公式で
因数分解します。
-3ab(a+b)-3abc の部分は-3abでくくります。
するとそれぞれ（a+b+c) という式が出てくるはずです。
これで全体をくくって残りを整理すれば完成です。
投稿日時 - 2003-05-25 23:55:24
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ベストアンサー以外の回答（1件中 1～1件目)
783467393さん、こんばんは。
＞a^3+b^３+c^3+3abcの因数分解は交代式というそうですが
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
という因数分解のことでしょうか。
まず、aについての３次式だと考えて、
f(a)=a^3+3bca+(b^3+c^3)
=a^3-3bca+(b+c)(b^2-bc+c^2)
ここで、因数定理から-(b+c)をaに代入してみると
f(-(b+c))=-(b+c)^3+3bc(b+c)+b^3+c^3
=(b+c){-(b+c)^2+3bc+b^2+c^2-bc}
=(b+c){-2bc-b^2-c^2+3bc+b^2+c^2-bc}=0
となるので、f(a)は(a+b+c)という因数を持つことが分かります。
あとは、実際に筆算で割ってみるといいでしょう。
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
となることが求められます。
しかし、一般には
(a+b+c)(a^2+b^2+c-2-ab-bc-ca)を展開してみると
a^3+b^3+c^3-3abcとなることから、これを公式として覚えてしまうことが多いと思います。
ご参考になればうれしいです。
投稿日時 - 2003-05-25 23:44:38
