a^3+b^３+c^3+3abcの因数分解

質問

a^3+b^３+c^3+3abcの因数分解は交代式というそうですが、地道にとくとどうなるのでしょう？細かい説明お願いします。

回答No.2

noname#24477 · ベストアンサー

問題式が少し違いますね。
a^3+b^3+c^3-3abc
でしょう。

それからこれは交代式ではなく対称式です。
a^3-b^3　のようにa,bを入れ替えると全体の+-が入れ替わる式が交代式
a^3+b^3　のようにa,bを入れ替えても変わらない式が対称式です。
だから問題の式はａ，ｂ，ｃのどれを入れ替えても変わらない
対称式です。

さて問題の式ですが
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
と因数分解できます。右辺を展開すれば＝であることは
わかります。これは公式として覚えていれば良く、因数分解の仕方を
途中式を入れてやってもメリットはありません。

一応書いて見ますが途中式を普通書く必要はありません。

a^3+b^3＝(a+b)^3-3ab(a+b)　は良いですね。
これも受験生レベルの生徒なら知っているべき式です。
（もし知らないのなら、３乗を展開して確認して覚えてください。）

a^3+b^3+c^3-3abc＝(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc

ここで(a+b)^3+c^3　を　x^3+y^3　の因数分解の公式で
因数分解します。
-3ab(a+b)-3abc　の部分は-3abでくくります。

するとそれぞれ（a+b+c)　という式が出てくるはずです。
これで全体をくくって残りを整理すれば完成です。

回答No.1

fushigichan

783467393さん、こんばんは。

＞a^3+b^３+c^3+3abcの因数分解は交代式というそうですが

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
という因数分解のことでしょうか。

まず、aについての３次式だと考えて、
f(a)=a^3+3bca+(b^3+c^3)
　　=a^3-3bca+(b+c)(b^2-bc+c^2)
ここで、因数定理から-(b+c)をaに代入してみると
f(-(b+c))=-(b+c)^3+3bc(b+c)+b^3+c^3
　　　　　=(b+c){-(b+c)^2+3bc+b^2+c^2-bc}
　　　　　=(b+c){-2bc-b^2-c^2+3bc+b^2+c^2-bc}=0
となるので、f(a)は(a+b+c)という因数を持つことが分かります。
あとは、実際に筆算で割ってみるといいでしょう。
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
となることが求められます。

しかし、一般には
(a+b+c)(a^2+b^2+c-2-ab-bc-ca)を展開してみると
a^3+b^3+c^3-3abcとなることから、これを公式として覚えてしまうことが多いと思います。
ご参考になればうれしいです。