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高校数学
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a=1とするとすべての実数xについて不等式が成立しない。 a>1とするとy=左辺は下向きに凸の放物線なのですべての実数xについて不等式が成立しない。 これらから a<1…(●) でなくてはならない。 このとき２次不等式になる。 y=左辺は上向きに凸の放物線なので すべての実数xについて不等式が成立するための条件は (a-1)x^2+ａx-2=0 (a<1) が異なる2つの解を持たないこと。 つまり、判別式D=a^2+8(a-1)≦0 これを満たすaの範囲は -4-2√6≦a≦-4+2√6 …(■) (●)と(■)が同時に成り立つa の範囲を求めれば答えになります。
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- sotom
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丸投げは禁止です。宿題は自分でやりましょう。 グラフを描きましょう。 y=(a-1)x^2+ax-2と仮定して、全てのxに対してy≦0ということは、 ∩の形状、即ちx^2の係数が負で、且つ、x軸に接しなければいい。 あとは、判別式を使って計算しましょう。ちなみに中学生レベルですよ。
問題の不等式は添付図の数式のように展開できるので、求める条件は a - 1 < 0 かつ (a^2 + 8a - 8) / (4(a - 1)) ≦ 0 となります。 (放物線が上に凸で、かつ、頂点の座標が0以下、ということです。) この不等式を解くと答えが得られます。
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