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同値類XとClの関係がわかりません
例えば、 m∈N について、同値関係を「2をModとする関係」と定義すると、 0を代表元とする同値類Cl(0)は、 Cl(0)={0、2、4、、、} 1を代表元とする同値類Cl(1)は、 Cl(1)={1、3、5、、、} ですが、単に「同値類Xは?」と言われると、これがわからんのです。 この場合の同値類Xは、 X=Cl(0) または X=Cl(1) で合ってますか? {Cl(0)、Cl(1)} だと、これは商集合ですよね (それとも、これは誤解?)
- morimot703
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>というのがあり、僕にとっては、∃Xが「いきなり」と感じるのです。 この文章ではどちらかといえば、「任意の」同値類という意味で、「一つの」を使っているでしょう。どの同値類も、そこに属する要素がどれも代表元になる、という性質をもっています。(別の言い方をすれば、xとyが同値なら、それぞれのなす同値類は等しいということ。) 同値類を表すときは、先に同値関係をいれてる集合Sの要素xをとってきて、[x](xの同値類)とやるのが普通です。つまり、先に代表元をとって、それで表示するということです。 場合によっては[]をはずして、代表元と、その同値類を同一視することもよくあります。(ただ“x”としか書いてないのに、それをxの同値類としてみるということです。) 代表元を明示せず、「同値類Xは」というのは滅多にないと思います。最初に挙げた性質を説明する都合上、そういう表現を無理にやったように思います。 もともと、同値類は、要素を伴った形で定義された概念と思います。英語版のwikipediaでは、そういう風に書いてます。 冒頭の「 the equivalence class of an element a in X」がそうです。正確に述べると長くなるので、「同値類」「equivalence class」のところだけ、出てきてしまうのでしょう。
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- settheory
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同値類も商集合のところも合っています。 「同値類Xは」と、いきなりでてくる表現はあまり思い当たらないのですが・・ 商集合の方が議論の対象で、そこの要素のことを言うのであればなくはないかもしれませんが。 どういう話の流れでこういう表現がでてきたのか、具体例がありましたら補足にお願いします。 よくあるのは、同値関係をいれてる集合の要素xに対して、 「xの同値類」という言い回しです。これは、xと同値なものを全て集めた集合(xを代表元とする同値類)を表します。つまり、Cl(x)のことになります。
お礼
解答、ありがとうございます。 ちょっと、自信がつきました。 >具体例 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82 に、 >一つの同値類 X に対して、[x] = X となる S の元 x を定めることを、、、 というのがあり、僕にとっては、∃Xが「いきなり」と感じるのです。 >xの同値類 は、「xと同値な元のなす同値類」ですね。
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お礼
>「任意の」同値類という意味で、「一つの」を使っているでしょう。 そういうことですか。 「∀Xについて、、、、X の代表元として x をとるという」 ならわかります。 ありがとうございました。 尚、何故、同値類や商集合を知りたったかというと、 ヒルベルト空間に興味を持っていて「距離空間の完備化」を理解したかったからです。 http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/62700932.html ですが、アドバイス頂ければ幸いです。