濃度のべき乗 (冪乗)についての問題で困ってます。

質問

以下が教えていただきたい問題です。

集合Xの濃度を#Xで表す.特に，#φ= 0 であり，#{φ} = 1 である

更に，濃度のべき乗(冪乗) (#Y)^(#X) を #(Y^X) と定義する

(1) (#Y)^0 を求めよ

(2) 0^(#X) を求めよ

(3) 0^0 を求めよ

(要証明)

濃度のべき乗の定義を調べたところ、濃度α，β(ただしα≧1，β≧1) に対して

α= #A, β= #B　となる集合 A, B をとり

AからBへの写像全部の集合 B^A の濃度を冪β^αとする

となっていて濃度が 0 のときの場合について触れている本も無く困ってます

なんとなく (1)～(3) の答はどれも 0?

ヒントだけでいいのでよろしくお願いします。

回答No.1

rinkun · ベストアンサー

問題は(要証明)までで、後はあなたが調べたことですね。
(1)
問題の定義より
(#Y)^0=(#Y)^(#φ)=#(Y^φ)
までは良いですね。
さて、Y^φはどう考えましょう。問題の中では冪集合の定義がありませんし、あなたの調べた中にも空集合の冪集合の定義はありません。
普通に考えれば、Y^φは、φからYへの写像全体です。空集合からの写像というのも分かり難い概念ですが、集合論的には空集合になる写像がありますので
Y^φ={φ}
従って
(#Y)^0=#{φ}=1

(2)
0^(#X)=(#φ)^(#X)=#(φ^X)
Xが空集合でないとき、Xから空集合への写像は存在しないので
φ^X=φ
従って
0^(#X)=#φ=0
Xが空集合のときは(3)です。

(3)
0^0=(#φ)^(#φ)=#(φ^φ)
(1)と同じようにして
φ^φ={φ}
従って
0^0=#{φ}=1

お礼

空集合から、空集合へ、の写像が全く分かっていないと痛感しました。
その辺の抜けを埋めていきたいです。
…
多分rinkunさんに答えてもらうのは今回で3,4回になるかと思いますが、
毎回とても助かってます。いつも解答ありがとうございます。m(_ _)m

回答No.3

koko_u_u

>すいません、分かりません。

おおよそ合っています。

注意するべきは濃度 α を与える集合 A は無数に考えられるので、
α = #A , β = #B なる A, B をどのようにとっても #(A^B) の濃度が同じでないと
α^β を「定義した」ことにならないということです。

これを踏まえた上で、(#Y)^0 を考えるときに、#(Y)^(#φ) つまり #(Y^φ) を考えればよい。と言えます。

補足

なるほど。もしよければ
#X = 0 ならば X = φ であることの証明
も教えてもらえませんか?、気になるので…

回答No.2

koko_u_u

>更に，濃度のべき乗(冪乗) (#Y)^(#X) を #(Y^X) と定義する

まずは、その「定義」が well-defined であることを示して補足にどうぞ。
次に #X = 0 ならば X = φ であることを証明して補足にどうぞ。

補足

どうすればいいのか、、、

A, B と同じようにα= #A', β= #B'　となる集合 A', B' をとると

#A= #A', #B= #B' であるから

全単射 f:A->A', g:B->B' が存在する

B^A の各元 h に B'^A' の元 g・h・f を対応させれば

全単射 B^A->B'^A' がつくれる

よって, #B^A=#B'^A'　??

すいません、分かりません。