領域問題

質問

高校の授業で『2009 スタンダード数学演習I・II・A・B 受験編』を使用していますが、その中の問題で
「2点A(0,1),B(1,1)を結ぶ線分ABが,円x＾2+y＾2-2ax-2by-1=0の外部にあるとき,a,bの満たす条件が表す領域をab平面に図示せよ。」
とあり、私は方針を２つ考えましたが、２つとも行き詰まり、解答に至りません。
以下に私が考えた方針を記させていただきます。

(ⅰ)円と線分ABが交点、または接点を持たなければ良いと考えたので、線分ABを(p,1)(0≦p≦1)とし、円の方程式に線分ABの座標を代入し、その式(p＾2-2ap-2b=0)が解を持たないことを示そうとしましたが、どうやって示せばいいかわかりません。

(ⅱ)円の中心と線分ABとの距離が、円の半径よりも大きければ、題意を満たすことになるので、距離公式を駆使し、場合分けをしてそれぞれの不等式で表し、ab平面に図示しようと試みましたが、a＜0,0≦a≦1,a＜1で場合分けした場合、0≦a≦1の場合４次不等式が出てきて、複二次式、(X)~2+A(平方完成)できず、更にこの場合分け自体、違っているような気がし、解答を進めることができません。

この問題を授業で解説をしなければならないのですが、この方針での解答がわかる方がいらっしゃいましたら、教えてください。問題点、または別の方針でも構いません。
皆様よろしくお願いします。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

ｘ^2　＋　ｙ^2　－　２ａｘ　－　２ｂｙ　－　１
　＝　（ｘ－ａ）^2　＋　（ｙ－ｂ）^2　－　ａ^2　－　ｂ^2　－　１

よって、円は、
・中心の座標が（ａ，ｂ）
・半径ｒが、ｒ＝√（ａ^2＋ｂ^2＋１）
ですね。

では、線分ＡＢという棒の周りで、円を棒に接するように、ころころと１周転がすとし、
そのときの中心（ａ，ｂ）の軌跡を考えます。
（それが、線分ＡＢが円の外部にあることの「すれすれの条件」になります。）

１．
（ａ，ｂ）の旅の始点を、Ａ（０，１）の直上である（ａ，ｒ＋１）とし、そこから右に動かします。
すると、（０，１＋ｒ）から（１，１＋ｒ）までは、（ａ，ｂ）は直線経路です。
０≦ａ≦１　かつ　ｂ＝１＋ｒ

２．
次に、（１，１＋ｒ）から（１，１－ｒ）までの、（ａ，ｂ）が回転する経路は、
（ａ，ｂ）は（１，１）を中心とする半径ｒの半円です。
（ａ－１）^2　＋　（ｂ－１）^2　＝　ｒ^2
かつ、ａ≧１

３．
次に、（１，１－ｒ）から左に（０，１－ｒ）までの（ａ，ｂ）の経路は、直線です。
０≦ａ≦１　かつ　ｂ＝１－ｒ

４．
次に、（０，１－ｒ）から（０，１＋ｒ）までの（ａ，ｂ）の経路は、
（０，１）を中心とする半径ｒの半円です。
ａ^2　＋　（ｂ－１）^2　＝　ｒ^2
かつ、ａ≦０

以上のことから、線分が線分の外部にあるときの（ａ，ｂ）の条件を求めますが、
上記の式で、中心（ａ，ｂ）から「長さｒの手で届かない条件」を求めればよいのですから、
下記のようになります。

１．
０≦ａ≦１　のとき（その１）
｜ｒ｜　＜　ｂ－１
√（ａ^2＋ｂ^2＋１）　＜　ｂ－１
ａ^2＋ｂ^2＋１　＜　ｂ^2－２ｂ＋１
ａ^2　＜　－２ｂ
ｂ　＞　ａ^2／２

２．
ａ≧１　のとき
（ａ－１）^2　＋　（ｂ－１）^2　＞　ｒ^2
（ａ－１）^2　＋　（ｂ－１）^2　＞　ａ^2＋ｂ^2＋１
－２ａ　－　２ｂ　＞　－１
２ａ　＋　２ｂ　＜　１
ｂ　＜　－ａ＋１／２

３．
０≦ａ≦１　のとき（その２）
｜ｒ｜　＜　１－ｂ
√（ａ^2＋ｂ^2＋１）　＜　１－ｂ
ａ^2＋ｂ^2＋１　＜　１　－２ｂ　＋　ｂ^2
ａ^2　＜　－２ｂ
ｂ　＜　－ａ^2／２

４．
ａ≦０　のとき
ａ^2　＋　（ｂ－１）^2　＞　ｒ^2
ａ^2　＋　（ｂ－１）^2　＞　ａ^2＋ｂ^2＋１
－２ｂ　＞　０
ｂ　＜　０

以上をまとめると、

ａ≦０　のとき
　ｂ　＜　０

０≦ａ≦１　のとき
　ｂ　＜　－ａ^2／２　または　ｂ　＞　ａ^2／２

ａ≧１　のとき
　ｂ　＜　－ａ　＋　１／２

以上ですが、計算にまったく自信がないので書き間違いがあるかもしれません。
よろしければ検算してみてください。

ご参考になりましたら幸いです。

お礼

回答ありがとうございます。
実は、私が一番最初に考えた方針は、質問文にある方針(ⅱ)の方であり、(ⅰ)は、だいぶ時間が経ってから思いついた方針でした。
入試本番では、だいぶ時間が経ってから思いつくような方針で解くわけにはいきませんから、私が一番最初に思いついた解答であった(ⅱ)の、距離関係を使った“ビジュアル的方法(?)”での解答で勝負しなければなりません。こちらのほうが、実数解がないことを示すより方針としては遠回りになるかもしれませんが、私が望んでいた回答はまさにsanori様が回答してくださった解答でした。軌跡の方程式を求めて、円の中心の存在を示してやれば、abの不等式が出てきて領域が示せるのですね。100%理解できました。とても丁寧な解答、ありがとうございました。

回答No.7

mister_moonlight

方針(1)の場合の方法。

円の方程式と、線分ＡＢとを連立すると、f（x）＝（x-a）＾2＋（1-a＾2-2b）＝0　である。但し、実数解の時は　｜x｜＞1.
この方程式の2つの解をα、β（α＞β）とすると、
【1】この方程式が実数解をもたない時　→　判別式＜0
【2】この方程式が実数解をもつ時　→　判別式≧0
そして、この場合で題意を満たすには、以下の3つに場合わけされる。
(1)　α＞1、β＞1　(2)　α＜0、β＜0　　(3)　α＞1、β＜0　

結局、解の配置の問題に帰着するが、続きは自分でやって。

以上から、やはり（ⅱ）の方針の方が　smart　だし　simple　のようだ。

回答No.6

mister_moonlight

分るとは思うが、書き込みミス。。。。。ｗ

（誤）(1)　｜a｜≦1の時、ＡＢ＝1から、｜b-1｜＞r　→　（b-1）＾2＞a＾2＋b＾2＋1
(3)a＜1の時、ＰＡ＞r　→　（a）＾2＋（b-1）＾2＞a＾2＋b＾2＋1

（正）(1)　0≦a≦1の時、ＡＢ＝1から、｜b-1｜＞r　→　（b-1）＾2＞a＾2＋b＾2＋1
(3)a＜0の時、ＰＡ＞r　→　（a）＾2＋（b-1）＾2＞a＾2＋b＾2＋1

回答No.5

mister_moonlight

円の方程式は、（x-a）＾2＋（y-b）＾2＝a＾2＋b＾2＋1＝r＾2.
円の中心をＰ（a、b）とすると、
(1)　｜a｜≦1の時、ＡＢ＝1から、｜b-1｜＞r　→　（b-1）＾2＞a＾2＋b＾2＋1
(2)a＞1の時、ＰＢ＞r　→　（a-1）＾2＋（b-1）＾2＞a＾2＋b＾2＋1
(3)a＜1の時、ＰＡ＞r　→　（a）＾2＋（b-1）＾2＞a＾2＋b＾2＋1

これらを図示すれば終わり。

回答No.4

gohtraw

＃２です。訂正です。方針（２）の場合、ＡＢ上の点のうち最も円の中心に近いものを考えればよく、それが＃３さんの「転がし」法ですね。最も円の中心に近いＡＢ上の点が容易に見つかるので方針（２）もありですね。

回答No.2

gohtraw

線分ＡＢの式はｙ＝１なのでそれを円の式に代入するとｘの二次方程式になるので、それが０＜＝ｘ＜＝１の範囲に解を持たないことを示せばいいのではないでしょうか？これは方針（１）と同じですね。
場合分けとして
　（ア）判別式＜０の場合
　　　　　４ａ＾２＋８ｂ＜０
　（イ）判別式＞＝０の場合
　　　　　４ａ＾２＋８ｂ＞＝０
　　　　０＜＝ｘ＜＝１の範囲には解がないので実際に解いてその範囲を決める（解＜０、１＜解とおく）。
でいけると思うのですが。

　方針（２）については、円の中心と線分ＡＢ（の延長を含む）の距離が
　（ア）半径よりも大きい場合
　（イ）＜＝半径だがＡＢは円の外部にある場合
の二つになり、（ア）は結構簡単だと思いますが（イ）は結局方針（１）を使うことにならないでしょうか？

　以上より、方針（１）でいくのがいいと考えます。

お礼

回答ありがとうございます。
難しく考えすぎ、判別式が使えないとてっきり思い込んでいましたが、「解＜０、１＜解とおく」ようにすれば、判別式を使っても解けるのですね。ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_u

>その式(p＾2-2ap-2b=0)が解を持たないことを示そうとしましたが、
>どうやって示せばいいかわかりません。

2次方程式のよくある問題ですね。

>(ⅱ)円の中心と線分ABとの距離が、円の半径よりも大きければ、題意を満たすことになる

こちらはちょっと面倒そうですが、頑張ればできるでしょう。

いずれも方針としては間違っていません。
複数の方針で問題を解くのは非常に有意義なのでもう少し自分で頑張ってみることをお勧めします。

お礼

この質問への逸早い回答ありがとうございました。
数学は「自力で解くことでスキルが身につく」ことから、方針が正しいことを示しつつ、自らの力で解くように勧めてくださったkoko_u_u様のご好意を、厚く受けさせていただきます。ありがとうございました。