- 締切済み
微分公式について
すいません。 公式の証明についておしえて頂けないでしょうか? 助かります。 f(x),g(x)が微分可能なとき、次の各符号が成り立つ。 (1) (kd(x))'=kf'(x) (Kは定数) 証明はどのように導けるのでしょうか? (2) (f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x) (符号同順) 証明はどのように導けるのでしょうか? (3) (f(x)・g(x))'=f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x) について、 (f(x)・g(x))'=lim {f(x+h)・g(x+h)-f(x)・g(x)}/h h→0 まではわかるのですが、このあとの lim {f(x+h-f(x)}g(x+h)+{g(x+h)-g(x)}f(x)/h はどのようにしてあらわれるのでしょうか? (4) (1/g(x))’=-(g(x))/{g(x)}^2 (ただしg(x)キ0) について (1/g(x))’= を計算して つぎのように表すには =lim 1/h{(1/g(x+h))-1/g(x)} h→0 にはどのようにしてでるのでしょうか? (5) (f(x)/g(x))'={f'(x)・g(x)-f(x)・g'(x)}/{g(x)}^2 は(3)と(4)より導けるそうですが、どのようにして導くのでしょうか? 親切なかたおねがいします。 たくさんあってごめんなさい
- aya402
- お礼率5% (4/76)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数1
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
みんなの回答
- fushigichan
- ベストアンサー率40% (4040/9937)
aya402さん、こんにちは。 >(1) (kd(x))'=kf'(x) (Kは定数) 証明はどのように導けるのでしょうか? (kf(x))'=kf'(x)ですね。 定義に従って、微分していけばいいです。 分かりやすく、kf(x)=g(x)とおきましょう。 (kf(x))'=g'(x)=lim{g(x+h)-g(x)}/h h→0 =limkf(x+h)-kf(x)}/h h→0 =k*lim{f(x+h)-f(x)}/h h→0 =k*f'(x) kは定数ですから、hがいくら0に近づこうとも、それに影響されないのがミソです。 >(2) (f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x) (符号同順) (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)から考えましょう。 f(x)+g(x)=l(x)とおくと、 (f(x)+g(x))'=l'(x)=lim{l(x+h)-l(x)}/h h→0 =lim{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}/h h→0 =lim{f(x+h)-f(x)}/h+lim{g(x+h)-g(x)}/h h→0 h→0 =f'(x)+g'(x) (f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)も同様に、 f(x)-g(x)=l(x)とおけば、証明できますよ。やってみてください。 >(3) (f(x)・g(x))'=f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x) (f(x)・g(x))'=lim {f(x+h)・g(x+h)-f(x)・g(x)}/h h→0 まではわかるのですが なかなか、いいところまで気づいていると思います。 ちょっと工夫してみましょう。 (f(x)・g(x))'=lim {f(x+h)・g(x+h)-f(x)・g(x)}/h h→0 =lim{f(x+h)*g(x+h)-f(x)*g(x+h)+f(x)*g(x+h)-f(x)g(x)}/h h→0 =lim{f(x+h)*g(x+h)-f(x)*g(x+h)}/h+lim{f(x)*g(x+h)-f(x)g(x+h)}/h h→0 h→0 =g(x)f'(x)+f(x)g'(x) h→0としたときには、g(x+h)→g(x)であるから。 これで、 (f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)が証明できました。 >(4) (1/g(x))’=-(g(x))/{g(x)}^2 (ただしg(x)キ0) G(x)=1/g(x)と、おきましょう。 {1/g(x)}'=G'(x)ですから、これを定義に従って微分していきましょう。 G'(x)=lim{G(x+h)-G(x)}/h h→0 =lim{1/g(x+h)-1/g(x)}/h h→0 =lim{g(x)-g(x+h)/g(x)g(x+h)}/h h→0 -g'(x)/{g(x)}^2 これで証明されました。 >(5) (f(x)/g(x))'={f'(x)・g(x)-f(x)・g'(x)}/{g(x)}^2 (3)より、 f(x)/g(x)=f(x)*{1/g(x)}と考えてみましょう。 (f(x)/g(x))'=f'(x){1/g(x)}+f(x){1/g(x)}' ここで(4)より =f'(x){1/g(x)}+f(x){-g'(x)}/{g(x)}^2 分母を{g(x)}^2にそろえると、 ={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/{g(x)}^2 となって、(5)が証明されました。 定義に従って、一つ一つ変形していけば、理解できると思います。 頑張ってください。
- ONEONE
- ベストアンサー率48% (279/575)
積の微分法(3) (f(x)・g(x))' =lim[h→0]{f(x+h)・g(x+h)-f(x)・g(x)}/h =lim[h→0]{f(x+h)・g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)・g(x)}/h (f(x)g(x+h)を引いて足した)・・・1 =lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}g(x+h)/h + f(x)lim[h→0]{g(x+h)-g(x)}/h =f'(x)g(x)+f(x)g(x) 1の操作は微分できる形に持っていくためですね。 商の微分法(5)極限使う方法もある (f(x)/g(x))' ={f(x)・g(x)^(-1)}'(積の微分法) =f'(x)g(x)^(-1)-f(x)・{g'(x)・g(x)^(-2)} =f'(x)/g(x)^(-1) - f(x)g'(x)/g(x)^(-2) =f'(x)g(x)/g(x)^(-2) - f(x)g'(x)/g(x)^(-2) ={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/g(x)^2 f(x)=1のとき(4) または(3)をつかってg(x)^-1でやるとか。 順番違ってはだめですかね?
関連するQ&A
- 合成関数の微分公式について
すいません。 なんども。 もうひとつおねがいします。 困っています。 u=f(x),y=g(u)がともに微分可能のとき, 合成関数も微分可能であり、土の式が成り立ちます。 y=g{f(x)}=g・f(x) dy/dx=dy/du・du/dx または y'=g'(u)・f'(x) これを、証明するには、 du/dx= lim f(x+h)-f(x)/h , h→0 dy/du= lim g(u+k)-g(u)/h h→0 ここで、k=f(x+h)-f(x)とおくと、kキ0のとき dy/dx=[g(f(x))]' =lim g(f(x+h))-g(f(x))/h まではわかるのですが、 =lim g{f(x+h)}-g{f(x)}/{f(x+h)-f(x)} ・{f(x+h)-f(x)}/h はどのうに現れるのでしょうか? できれば、途中計算がほしいです。 お願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学 微分の問題について この公式を証明
数学 微分の問題について この公式を証明するにはどうすれば良いでしょうか?また、どんな場面でこれを用いることがあるか、例を挙げてもらえると嬉しいです。 (公式) (f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積算の微分の公式の証明方法は?
積算の微分の公式の証明方法が分かりません。 {f(x)・g(x)}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)の証明方法が知りたいのです。分かりやすい参考サイト、参考文献ありましたら教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分 可能 について
微分係数の定義は、 (1)f´(a)=lim[h→0](f(a+h)-f(a))/h これを変形すると、 lim[h→0](f(a+h)-f(a))=lim[h→0]h・f´(a) よって、lim[h→0]f(a+h)=f(a)となります。 x=a+hとすれば、 (2)lim[x→a]f(x)=f(a) となります。 lim[x→a]f(x)=f(a)はf(x)にaを代入している事と同じになると 思います。 ここで、問題です。 f(x)=|x|のx=0について微分可能で無い事を示す場合、 (1)式で解くと、 右極限 lim[h→+0](|0+h|-|0|)/h=lim[h→+0]|h|/h=1 左極限 lim[h→-0](|0+h|-|0|)/h h=-tと置くと、t→+0となる。 lim[t→+0](|0-t|-|0|)/-t=lim[t→+0]|t|/-t=-1 となり、lim[h→+0](|0+h|-|0|)/h≠lim[h→-0](|0+h|-|0|)/h なのでf(x)=|x|はx=0について微分可能でない。 (2)式で解くと、 右極限 lim[x→+0]|x|=0 左極限 lim[x→-0]|x|=0 x=-tと置くと、t→+0となる。 lim[t→+0]|-t|=0 よって、lim[x→+0]|x|=lim[x→-0]|x|となり微分可能であると成ってしまいます。 (1)式=(2)式なのに、解が異なってしまうのは何故でしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 関数の逆数の微分公式の示し方について「
積の微分公式 [f(x)h(x)]'=f'(x)h(x)+f(x)h'(x)の示し方について 回答をいただきありがとうございました!! なんとか理解できました! 関連問題で [1/g(x)]'=- 1/[g(x)]2乗 を示す問題があるのです。 先ほどの問題と関連付けて h(x)=1/g(x)とおき解くのかな?と思うのですが 当てはめてもうまくいきません・・。 解き方が間違っているのでしょうか。 どなたかわかればお願いします。 私も引き続き頑張ってみます。
- 締切済み
- 数学・算数
- 偏微分係数。
次の二変数関数fの(0,0)での各変数x,yに関する偏微分係数を求めよ。 f(x,y)= (2y+sinx/x+y if x+y≠0 (1 if x+y=0 解)xに関して lim(h→0) 1/h{f(0+h,0)-f(0,0)}= lim(h→0)sinh/h・1/h-1/h →+∞ よってfは(0,0)でxに関して偏微分ではない。 yに関して lim(h→0) 1/h{f(0,0+h)-f(0,0)}= lim(h→0) 2/h-1 →+∞ よってfは(0,0)でyに関して偏微分ではない。 これ合ってるでしょうか?間違っている気がするのですが…ご教授お願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数