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対数・指数の値の大小
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ちょっとだけ面倒です。 ２を何乗かしたものと３を何乗かしたもので比べます。 たとえば ２＾３＝８ ３＾２＝９ これ値が近いですよね。 ２＾３＜３＾２ 両辺の底が２の対数をとります。不等号は変わりません。 log[2]２＾３＜log[2]３＾２ ３＜２log[2]３ ２で割って 1.5＜log[2]３ これで1.5よりは大きいことが分かりました。 できるだけ近い値を探すと正確な近似値が得られます。 今度は上の方を押さえましょう。 たとえば ３＾２＜２＾４ これは値があまり近くないので大雑把にしか出ません。 それなら ３＾３＜２＾５ のほうが近い値が出るでしょう。 先のと同じように底を２の対数を作って見てください。 ３log[2]３＜５ log[2]３＜5/3＝1.53・・・ これで1.5より大きく1.53・・より小さいことが分かりましたから 小数第１位までなら1.5ということです。
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- siegmund
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(1) log(2)3 = a とおきます．もちろん，これは (2) 3 = 2^a と同じことです． 2^1 = 2，2^2 = 4 ですから， (3) 1 < a < 2 はわかりました． 同様の方針でもう１桁精密に考えてみます． (2)の両辺を10乗して (4) 3^(10) = (2^a)^(10) = 2^(10a) になります． したがって，2^n を順番に調べて， 3^(10) が 2^n と 2(n+1) の間に入るような n を見つければよいわけです． そうすれば (5) n < 10a < n+1 ⇔ n/10 < a < (n+1)/10 で，求めるものが得られます． 具体的計算はお任せします．
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