x^2/(1+x^4)の不定積分の解法
- x^2/(1+x^4)の不定積分について解法を説明します。
- x^2/(1+x^4)の不定積分を求めるには、部分分数分解を行います。
- 部分分数分解をすると、x^2/(1+x^4) = (1/(2√2)*x)/(x^2+√2x+1) + (1/(2√2)*x)/(x^2-√2x+1) となります。
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x^2/(1+x^4)の不定積分
∫x^2/(1+x^4)dxを解いてみたのですが、 まず、部分分数をして x^4+1 =(x^4+2x^2+1)-2x^2 =(x^2+1)^2-(√2x)^2 =(x^2+√2x+1)(x^2-√2x+1) x^2/(1+x^4) =x^2/(x^4+1) =(ax+b)/(x^2+√2x+1)+(cx+d)/(x^2-√2x+1) 分母を払って x^2 =(ax+b)(x^2-√2x+1)+(cx+d)(x^2+√2x+1) =(a+c)x^3+(-√2a+b+√2c+d)x^2+(a-√2b+c+√2d)x+b+d 恒等式なので a+c=0,-√2a+b+√2c+d=1,(a-√2b+c+√2d)=0,b+d=0 a=-1/(2√2),b=0,c=1/(2√2),d=0 ∫x^2/(1+x^4)dx =-∫(1/(2√2)*x)/(x^2+√2x+1)dx+∫(1/(2√2)*x)/(x^2-√2x+1)dx ここまで解きましたが、この先の積分がわかりません。
- fenghuang
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x/(x^2+√2x+1) の不定積分の流れだけ: 分母を平方完成すると x^2+√2x+1 = (x+√2/2)^2+(√2/2)^2. だから x/(x^2+√2x+1) = (x+√2/2)/[(x+√2/2)^2+(√2/2)^2] - (√2/2)/[(x+√2/2)^2+(√2/2)^2] として各項を積分してください.
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