• 締切済み

線型代数の証明問題

A、Bは複素n次正方行列とします。 |trAB|^2≦tr|AA*|tr|BB*| の証明を教えてください。 A*はAの随伴行列です。

みんなの回答

  • reiman
  • ベストアンサー率62% (102/163)
回答No.7

いままでtr(BB^*)の式変形で添字の書換をしないミスをしていたので 訂正を兼ねて拡張もしてみた。 Aの行ベクトルの転置を順にa[1],…,a[n]とする。 このとき A= [a[1]^T] [・・・] [a[n]^T] Bの列ベクトルの複素共役を順にb[1],…,b[n]とする。 このとき B=[(b[1]^*)^T … (b[n]^*)^T] すると trAB=a[1]^T(b[1]^*)^T+…+a[n]^T(b[n]^*)^T trAB=(b[1]^*a[1]+…+b[n]^*a[n])^T trAB=b[1]^*a[1]+…+b[n]^*a[n] trAB=(a[1],b[1])+…+(a[n],b[n]) tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^T)^*+…+a[n]^T(a[n]^T)^* tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^*)^T+…+a[n]^T(a[n]^*)^T tr(AA^*)=(a[1]^*a[1]+…+a[n]^*a[n])^T tr(AA^*)=a[1]^*a[1]+…+a[n]^*a[n] tr(AA^*)=(a[1],a[1])+…+(a[n],a[n]) tr(AA^*)=∥a[1]∥^2+…+∥a[n]∥^2 tr(BB^*)=tr(B^*B) tr(BB^*)=b[1]^T(b[1]^*)^T+…+b[n]^T(b[n]^*)^T tr(BB^*)=(b[1]^*b[1]+…+b[n]^*b[n])^T tr(BB^*)=b[1]^*b[1]+…+b[n]^*b[n] tr(BB^*)=(b[1],b[1])+…+(b[n],b[n]) tr(BB^*)=∥b[1]∥^2+…+∥b[n]∥^2 よって |trAB|^2= |(a[1],b[1])+…+(a[n],b[n])|^2 ≦(|(a[1],b[1])|+…+|(a[n],b[n])|)^2 ≦(∥a[1]∥∥b[1]∥+…+∥a[n]∥∥b[n]∥)^2 ≦(∥a[1]∥^2+…+∥a[n]∥^2)(∥b[1]∥^2+…+∥b[n]∥^2) =tr(AA^*)tr(BB^*)

  • reiman
  • ベストアンサー率62% (102/163)
回答No.6

もっと簡単に 3次でやってもすぐに拡張できるのでそれでする。 Aの行ベクトルの転置を順にa[1],a[2],a[3]とする。 このとき A= [a[1]^T] [a[2]^T] [a[3]^T] Bの列ベクトルの複素共役を順にb[1],b[2],b[3]とする。 このとき B=[(b[1]^*)^T (b[2]^*)^T (b[3]^*)^T] すると trAB=a[1]^T(b[1]^*)^T+a[2]^T(b[2]^*)^T+a[3]^T(b[3]^*)^T trAB=(b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3])^T trAB=b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3] trAB=(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3]) tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^T)^*+a[2]^T(a[2]^T)^*+a[3]^T(a[3]^T)^* tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^*)^T+a[2]^T(a[2]^*)^T+a[3]^T(a[3]^*)^T tr(AA^*)=(a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3])^T tr(AA^*)=a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3] tr(AA^*)=(a[1],a[1])+(a[2],a[2])+(a[3],a[3]) tr(AA^*)=∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2 tr(BB^*)=tr(B^*B) tr(BB^*)=b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T tr(BB^*)=(b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1])^T tr(BB^*)=b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1] tr(BB^*)=(b[1],b[1])+(b[2],b[2])+(b[3],b[3]) tr(BB^*)=∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2 よって |trAB|^2= |(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3])|^2 ≦(|(a[1],b[1])|+|(a[2],b[2])|+|(a[3],b[3])|)^2 ≦(∥a[1]∥∥b[1]∥+∥a[2]∥∥b[2]∥+∥a[3]∥∥b[3]∥)^2 ≦(∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2)(∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2) =tr(AA^*)tr(BB^*)

  • reiman
  • ベストアンサー率62% (102/163)
回答No.5

一ヶ所=と書くべきを≦と書いていたので訂正 3次でやってもすぐに拡張できるのでそれでする。 Aの行ベクトルの転置を順にa[1],a[2],a[3]とする。 このとき A= [a[1]^T] [a[2]^T] [a[3]^T] Bの列ベクトルの複素共役を順にb[1],b[2],b[3]とする。 このとき B=[(b[1]^*)^T (b[2]^*)^T (b[3]^*)^T] すると trAB=a[1]^T(b[1]^*)^T+a[2]^T(b[2]^*)^T+a[3]^T(b[3]^*)^T trAB=(b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3])^T trAB=b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3] trAB=(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3]) tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^T)^*+a[2]^T(a[2]^T)^*+a[3]^T(a[3]^T)^* tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^*)^T+a[2]^T(a[2]^*)^T+a[3]^T(a[3]^*)^T tr(AA^*)=(a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3])^T tr(AA^*)=a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3] tr(AA^*)=(a[1],a[1])+(a[2],a[2])+(a[3],a[3]) tr(AA^*)=∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2 tr(BB^*)=tr(B^*B) tr(BB^*)=b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T tr(BB^*)=(b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1])^T tr(BB^*)=b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1] tr(BB^*)=(b[1],b[1])+(b[2],b[2])+(b[3],b[3]) tr(BB^*)=∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2 よって |trAB|^2= |(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3])|^2 ≦(|(a[1],b[1])|+|(a[2],b[2])|+|(a[3],b[3])|)^2 =|(a[1],b[1])|^2+|(a[2],b[2])|^2+|(a[3],b[3])|^2 +2|(a[1],b[1])||(a[2],b[2])| +2|(a[2],b[2])||(a[3],b[3])| +2|(a[3],b[3])||(a[1],b[1])| ≦(∥a[1]∥∥b[1]∥)^2+(∥a[2]∥∥b[2]∥)^2+(∥a[3]∥∥b[3]∥)^2 +2∥a[1]∥∥b[1]∥∥a[2]∥∥b[2]∥ +2∥a[2]∥∥b[2]∥∥a[3]∥∥b[3]∥ +2∥a[3]∥∥b[3]∥∥a[1]∥∥b[1]∥ ≦∥a[1]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[3]∥^2 +(∥a[1]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[1]∥^2) +(∥a[2]∥^2∥b[3]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[2]∥^2) +(∥a[3]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[1]∥^2∥b[3]∥^2) =(∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2)(∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2) =tr(AA^*)tr(BB^*)

  • reiman
  • ベストアンサー率62% (102/163)
回答No.4

より丁寧に 3次でやってもすぐに拡張できるのでそれでする。 Aの行ベクトルの転置を順にa[1],a[2],a[3]とする。 このとき A= [a[1]^T] [a[2]^T] [a[3]^T] Bの列ベクトルの複素共役を順にb[1],b[2],b[3]とする。 このとき B=[(b[1]^*)^T (b[2]^*)^T (b[3]^*)^T] すると trAB=a[1]^T(b[1]^*)^T+a[2]^T(b[2]^*)^T+a[3]^T(b[3]^*)^T trAB=(b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3])^T trAB=b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3] trAB=(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3]) tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^T)^*+a[2]^T(a[2]^T)^*+a[3]^T(a[3]^T)^* tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^*)^T+a[2]^T(a[2]^*)^T+a[3]^T(a[3]^*)^T tr(AA^*)=(a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3])^T tr(AA^*)=a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3] tr(AA^*)=(a[1],a[1])+(a[2],a[2])+(a[3],a[3]) tr(AA^*)=∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2 tr(BB^*)=tr(B^*B) tr(BB^*)=b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T tr(BB^*)=(b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1])^T tr(BB^*)=b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1] tr(BB^*)=(b[1],b[1])+(b[2],b[2])+(b[3],b[3]) tr(BB^*)=∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2 よって |trAB|^2= |(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3])|^2 ≦(|(a[1],b[1])|+|(a[2],b[2])|+|(a[3],b[3])|)^2 ≦|(a[1],b[1])|^2+|(a[2],b[2])|^2+|(a[3],b[3])|^2 +2|(a[1],b[1])||(a[2],b[2])| +2|(a[2],b[2])||(a[3],b[3])| +2|(a[3],b[3])||(a[1],b[1])| ≦∥a[1]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[3]∥^2 +2∥a[1]∥∥b[1]∥∥a[2]∥∥b[2]∥ +2∥a[2]∥∥b[2]∥∥a[3]∥∥b[3]∥ +2∥a[3]∥∥b[3]∥∥a[1]∥∥b[1]∥ ≦∥a[1]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[3]∥^2 +(∥a[1]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[1]∥^2) +(∥a[2]∥^2∥b[3]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[2]∥^2) +(∥a[3]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[1]∥^2∥b[3]∥^2) =(∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2)(∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2) =tr(AA^*)tr(BB^*)

  • reiman
  • ベストアンサー率62% (102/163)
回答No.3

寝ぼけていたので間違いがあり以下のように修正 3次でやってもすぐに拡張できるのでそれでする。 Aの行ベクトルの転置を順にa[1],a[2],a[3]とする。 このとき A= [a[1]^T] [a[2]^T] [a[3]^T] Bの列ベクトルの複素共役を順にb[1],b[2],b[3]とする。 このとき B=[(b[1]^*)^T (b[2]^*)^T (b[3]^*)^T] すると trAB=a[1]^T(b[1]^*)^T+a[2]^T(b[2]^*)^T+a[3]^T(b[3]^*)^T trAB=(b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3])^T trAB=b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3] trAB=(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3]) tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^T)^*+a[2]^T(a[2]^T)^*+a[3]^T(a[3]^T)^* tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^*)^T+a[2]^T(a[2]^*)^T+a[3]^T(a[3]^*)^T tr(AA^*)=(a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3])^T tr(AA^*)=a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3] tr(AA^*)=(a[1],a[1])+(a[2],a[2])+(a[3],a[3]) tr(AA^*)=∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2 tr(BB^*)=tr(B^*B) tr(BB^*)=b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T tr(BB^*)=(b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1])^T tr(BB^*)=b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1] tr(BB^*)=(b[1],b[1])+(b[2],b[2])+(b[3],b[3]) tr(BB^*)=∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2 よって |trAB|^2= |(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3])|^2 ≦(|(a[1],b[1])|+|(a[2],b[2])|+|(a[3],b[3])|)^2 ≦|(a[1],b[1])|^2+|(a[2],b[2])|^2+|(a[3],b[3])|^2 +2|(a[1],b[1])||(a[2],b[2])| +2|(a[2],b[2])||(a[3],b[3])| +2|(a[3],b[3])||(a[1],b[1])| ≦∥a[1]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[3]∥^2 +(∥a[1]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[1]∥^2) +(∥a[2]∥^2∥b[3]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[2]∥^2) +(∥a[3]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[1]∥^2∥b[3]∥^2) =(∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2)(∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2) =tr(AA^*)tr(BB^*)

  • reiman
  • ベストアンサー率62% (102/163)
回答No.2

3次でやってもすぐに拡張できるのでそれでする。 Aの行ベクトルの転置を順にa[1],a[2],a[3]とする。 このとき A= [a[1]^T] [a[2]^T] [a[3]^T] Bの列ベクトルの複素共役を順にb[1],b[2],b[3]とする。 このとき B=[(b[1]^*)^T (b[2]^*)^T (b[3]^*)^T] すると trAB=a[1]^T(b[1]^*)^T+a[2]^T(b[2]^*)^T+a[3]^T(b[3]^*)^T trAB=(b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3])^T trAB=b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3] trAB=(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3]) tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^T)^*+a[2]^T(a[2]^T)^*+a[3]^T(a[3]^T)^* tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^*)^T+a[2]^T(a[2]^*)^T+a[3]^T(a[3]^*)^T tr(AA^*)=(a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3])^T tr(AA^*)=a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3] tr(AA^*)=(a[1],a[1])+(a[2],a[2])+(a[3],a[3]) tr(AA^*)=∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2 tr(BB^*)=tr(B^*B) tr(BB^*)=b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T tr(BB^*)=(b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1])^T tr(BB^*)=b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1] tr(BB^*)=(b[1],b[1])+(b[2],b[2])+(b[3],b[3]) tr(BB^*)=∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2 よって |trAB|^2= |(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3])|^2 ≦|(a[1],b[1])|^2+|(a[2],b[2])|^2+|(a[3],b[3])|^2 ≦∥a[1]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[3]∥^2 ≦(∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2)(∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2) =tr(AA^*)tr(BB^*)

  • rabbit_cat
  • ベストアンサー率40% (829/2062)
回答No.1

コーシー・シュワルツそのもの http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 線形代数　Tr

    ｎ×ｎの正方行列で Ｔｒ（ＡＢ）＝Ｔｒ（ＢＡ） のちゃんとした証明が知りたいです。 なんとなく対角成分を書き出して、 a1b1・・・anbn b1a1・・・bnan となることは分かるんですが、どのように証明すればいいでしょうか？？ ご指導おねがいします。

  • 線形代数の問題で質問です。どなたか以下の問題をお教えいただけませんでし

    線形代数の問題で質問です。どなたか以下の問題をお教えいただけませんでしょうか。 よろしくお願いします。 問題　ｍ次複素正方行列　A　＝　（aij）、ｎ次複素正方行列　B　＝　（ｂkl）、　ｍ×ｎ複素行列　　　　C　＝　（ｃil）　が与えられたとき、ｍ×ｎ複素行列　X　＝　（ｘil）　に対する方程式 　　　　　　　　　　　　　　　AX－XB＝C 　　　を考える。 　　　ただし、aijは行列Aのi行j列の成分を表す。bkl、cil、xilも同様とする。 　　　このとき以下の質問に答えよ。 　　　 　　　１、　行列A、Bがそれぞれ上三角行列の場合、任意の　i　＝　１、２、・・・、ｍ　　と　　ｋ　　　　　　＝１、２、・・・、ｎ　　に対して、 　　　　　　aii 　＝　bkk　が成立するなら、行列Xが一意に定まることを示せ。 　　　 　　　２、　一般に、行列Aと行列Bが共通の固有値を持たないならば、行列Xは一意に定まることを示　　　　　　　せ。 　　　　　　ここで、適当な正則行列U、Vが存在して、UAU＾、VBV＾がそれぞれ上三角行列になるとい　　　　　　う事実を用いてよい。ただし、U＾とV＾は、それぞれUとVの逆行列を表す。 　　　３、　ｍ＝ｎとする。行列Aを対角化可能、行列Cをエルミート行列とし、 　　　　　　　　　　　B＝－A※ 　　　　　　と選ぶ。 　　　　　　このとき、行列Xが一意に定まる場合、X＝X※であることを示せ。ここで、A※とX※はそれ　　　　　　ぞれ行列AとXのエルミート共役をあらわす。

  • 線形代数

    行列に関する問題でわからない問題がいくつかあります。 (1)任意の2次実対称行列Aに対して、B^3=Aとなる実2次行列B が存在することを示せ。 (2)次の命題が正しければ証明し、正しくなければ反例をあげよ： 任意の実2次行列Aに対してB^3=Aとなる実2次行列Bが存在する。 (3)整数を成分とする2次正方行列AのべきA^nがn→∞のとき収束するならば、 A^2は零行列であるかまたはA^2=Aであることを証明せよ。 以上です。よろしくお願い致します。

  • 線形代数学の証明問題について…

    a[i](i=1…k)をn×1のk個のベクトルであるとする。 (1)Ａをm×n行列とする。a[1],…,a[k]が線形従属とすると、Ａa[1],…,Ａa[k]も従属であることを証明せよ。 (2)Ａをｎ次正則行列とする。a[1],…,a[k]が線形独立とすると、Ａa[1],…,Ａa[k]も独立であることを証明せよ。 rankを持ち出したり、Σをつかってみたりしたのですが上手くいかなくて…。誰かお願いします。

  • 線形代数学の証明問題

    線形代数学の証明問題を解いてほしいのでお願いします。 正方行列Aが Aの転置行列とAとの積が 単位行列Eを満たす時、 Aの行列式|A|が 1、または-1になる事を証明してほしいです。 ヒントだけでも構わないのでよろしくお願いします。

  • 線形代数　証明

    n次の行列Aが 固有値λ_i (i=1,2,3,,,n)をもつとき この固有値の総和 Σλ_iは 行列Aの対角成分の総和 tr(A)=Σa_ii (i=1,2,3,,,n) と等しいというものです またtr(A)=tr(P^(-1)AP)ともかかれてあり tr(A)=tr(P^(-1)AP)がわかれば Σλ_i=tr(A)もわかりそうですが どう証明すればいいのかわかりません どなたか教えてください

  • 線形代数の問題

    Aはn次正則行列で、n次正方行列BはAの逆行列である。またn次正方行列CはBの第i行と第j行を交換してできる行列であるとする。このとき、 Cの逆行列の第(i,j)成分はAの成分を用いて表すことができる。という問題が解けません。問題を式にしてみると B=A-1(Aの逆行列)、C=Bt（Bの転置）でこれはCの逆行列を求めるので C=Btの式の両辺にCの逆行列をかけて左辺を単位行列にして求めるんでしょうか？よくわかりません。見にくくてすみません。お願いします。

  • 線形代数の問題で分からない問題があります。

    次の2問を詳しく御願いします。 １．A=（aij)を(i,j)成分がaijである複素n次正方行列とし、tA=(ajiバー）を(i,j)成分がajiバー（ajiの複素共役）である複素n次正方行列とする。 (1)２つのx,y∈Cのn乗に対して （Ax,y)=(x,tAバーy)が成り立つことを示せ。ここに（x,y)は２つのベクトルx,y∈Cのn乗に対する標準内積を表す。 （２）A=tAバー（つまりＡはエルミート行列）とする。Ａの固有値αに対する固有空間｛ｖ∈Ｃのn乗|Av=αv}をV(α）で記す。このときＡが異なる実数の固有値α1,α2を持つとするとV(α1)⊥V(α2)が成り立つことを示せ。 ここにV(α1)⊥V(α2)とはどのようなx∈V(α1),y∈V(α2)に対しても(x,y)=0が成り立つことを意味する。（つまりV(α１）とＶ（α２）は直交する） 非常に見えづらくなってしまって本当に申し訳ないのですがよろしく御願いします。

  • 線形代数の問題が分かりません２

    （１）2次正方行列AでA^2＝－Eとなるものを一つ見つけよ．ただしEは2次単位行列 （２）自然数nについて「実n次正方行列JでJ^2＝－Enとなるようなものが存在する．」と「nは偶数．」が同値であることを示せ． という問題が分かりません．どなたか分かる方がいらっしゃいましたら，教えてください．よろしくお願いします．

  • 線形代数の問題

    問題。あるn次正方行列A,Bについて、I-ABが正則であるとします。 (1)以下を証明せよ。I-BAは正則であり、逆行列は以下のようにあらわせる。 　　　(I-BA)^(-1) = I + B((I - AB)^(-1))A (2)ABとBAが同じ固有値の組を持つことを証明せよ。 --------------------------------------------------- (1)は逆行列の定義に従って簡単に解けたのですが、(2)がなかなか証明できません。AB=Q(BA)Q^(-1)を満たすようなQを(1)の条件を使って探し、ABとBAが相似であることを証明すればいいと思ったのですが、そのような行列Qがなかなか見つかりません。 どのような情報でも感謝します。できれば直接的な解法ではなく、ヒントのようなものをいただけるとうれしいです。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する