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極限のヒントください
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HINT１：a^x＝e^xlna (a≠1) HINT２：x>0の場合，e^x＞1なのでe^x＝1＋1/t (t>0) とおけば lim[x→＋0][(e^x－1)/x]＝(tの関数) x<0の場合xの代わりに－xとおけばよい． どこか分からない所があれば追加します．
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- sokamone
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eの定義式：lim[x→0](h+1)^(1/h)＝ｅ は、高校の教科書（数３かな？）だと、まず対数関数の導関数を求めるときに用いられ、その後、指数関数の導関数は、対数関数の逆関数として指数関数をとらえて、逆関数の微分法を用いて導きます。質問の問題では、指数関数の微分法を使えば楽なところをわざわざｅの定義式を用いて示せと言っています。上で述べた教科書の手順を用いるのが自然なやり方じゃないでしょうか。 例えば、 f(x)=5^x-1, g(x)=3^x-1 とおく。それぞれ、xについて解いてみる。 x=log[5](1+f(x)), x=log[3](1+g(x)) 両辺それぞれ、f(x)、g(x)で割ってみる。 x/f(x)=(1/f(x))log[5](1+f(x))=log[5](1+f(x))^(1/f(x)), x/g(x)=(1/g(x))log[3](1+g(x))=log[3](1+g(x))^(1/g(x)), を得る。 例えば最初の等式は、x→0の極限をとると、(f(x)→0 でもあるので、右辺でeの定義式を用いて） lim[x→0](x/f(x))=log[5]e=1/log[e]5 となります。２番目の等式についても同様に計算します。ご自分でどうぞ^^。 問題の式は、 lim[x→0](5^x-1)/(3^x-1)=lim[x→0](f(x)/g(x)) =lim[x→0](x/g(x))・(x/f(x))^{-1} と書き直せるので…、あとは、まかせた。
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