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数と式
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>やり方はこの問題を見てすぐに思いついたのでしょうか? >または私のように他に試行錯誤した解き方はありましたでしょうか？ もちろん、試行錯誤した解き方は何通りもあります。 A#1の方法がもっともスマートで回答も実数条件だけで簡単に解け、説明も分かりやすい、ということで2乗形を工夫しました。 単に、方程式を満たすx,yの１つだけを見つけるだけなら (x-1)^2 +y(y-x+1)=0 から x=1 かつ y=0 …(●)が自明の解であることが分かりますね。 しかし2変数の方程式は一般には曲線を表し、曲線上の点が全て解になりますので、x=1,y=0が唯一の解という保証はなにもいえないですね。 唯一の解ということを示すには、 A^2+B^2=0 …(◆)という二次形式にして A=B=0という式に変形して A,Bがxとyの一次式にできるなら、連立方程式として元の方程式を満たす唯一の解であることが示せます。そしてその解が(●)になるということです。ということから（●）を解とするA,Bを見つければいいということで、2次形式（●）への変形を試行しました。つまりxについて着目し先ず、xの項を二乗にして、残りの項がだけになり、かつy^2の項だけになるようになるはずだ（x=1,y=0が解となるため）ということから、A#1の二次形式に辿り着きました。 別の試みとして #2さんの2次方程式の判別式で実数条件から(x,y)を見つけるやりました。 また、 f(x,y)=x^2-xy+y^2-2x+y+1=z とおいてzの最小値が(x,y)=(1,0)でz=0となることから f(x,y)=0の唯一解が(1,0)であることがわかっていました。 (x,y)=(1,0)はfx(x,y)=fy(x,y)=0の解から出てきますね。 他に x^2-xy+y^2-2x+y+1=k とおいて kの最小値を求める方法からk=0とその時の(x,y)=(1,0)が出てきます。 その他のやり方もやりましたが A#1のやり方が結果として最も簡明なわかりやすい（ただし2次形式にどのように変形するかが問題ですが）こと、また解答として短くスマートということでA#1の回答となりました。
その他の回答 (4)
- arrysthmia
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No.1 は、「やり方」抜きの結論だね。 あの式変形を導くには、 試行錯誤はあまり必要でなくて、 二次式の系統的な取り扱い方がある。 それの詳しい説明は、No.3 に書いておいた。 No.2 は、それよりずっとスマートなやり方。 だけど、 x の実数解が存在する理由に触れておかないと、 論理GAPが残る。
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
基本方針は、二次曲線の標準化です。 まず、二次の部分 x~2-xy+y~2 を一次変換して 交差項 xy を消すのですが、 この式であれば、x,y の対称性に注目すれば、 真面目に係数行列を対角化しなくても カンで、x~2-xy+y~2 = u~2+3v~2 u = (x+y)/2 v = (x-y)/2 に気づく。 この u,v を使って -2x+y = -u-3v だから、 与式左辺 = u~2+3v~2-u-3v+1 = (u-1/2)~2+3(v-1/2)~2 ここで 右辺 = a ≠ 0 であれば u-1/2 = (√a)cosθ (√3)(v-1/2) = (√a)sinθ とでも置くのだが、 右辺 = 0 なので、u = v = 1/2 と決まる。 後は、連立一次方程式を解いて x,y が解る。
お礼
二次曲線の式の形にするにはxyの項が邪魔なので、これがなくなるように変換するということですね。 目から鱗です。どうもありがとうございます。自分は図形としての認識が足りなかったようです。行列の対角化という考えも思いつきませんでした。
- fukuda-h
- ベストアンサー率47% (91/193)
変数がx,yの二つあるので一つの文字について整理して２次方程式と見るとよいでしょうね。x^2-(y+2)x+y^2+y+1=0・・・・(1) xについての２次方程式とみて解がxだからこの方程式は実数解をもつので 判別式D≧０ D=(y+2)^2-4y^2-4y-4=-3y^2≧0 からy^2≦0 （実数)^2≧0だからy=0これを(1)へ代入して(x-1)^2=0からx=1
お礼
わかりやすい回答ありがとうございます。私は実数条件を読み流していました。
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
>みなさんの考え方の流れと解答を教えて下さい。 問題を丸投げしないで、自分の考え方の流れをまず補足に書き、 その上でそのやり方に対して行き詰っていることを問うようにして下さい。 やり方） 式を変形 (x-1-y/2)^2+(3/4)y^2=0 x-1-y/2=0 かつ y=0 これを解けば x,y が出てきます。
補足
助言ありがとうございます。次回から気を付けます。 自分がこの問題と対峙して、まず初めにxまたはyの2次式と見て式を整理しましたが、うまくいきませんでした。次に、等式は最終的に ()()＝整数 と変形できるのではと考えて取り組みましたがだめでした。 info22さんのやり方はこの問題を見てすぐに思いついたのでしょうか?または私のように他に試行錯誤した解き方はありましたでしょうか？
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