大阪大学大学院 数学専攻 問題 ２００７年

質問

X；コンパクト位相空間、Y；位相空間、aをYの点とする。
ｆ；X×Y（直積）→R（実数）を直積位相空間X×Y上の連続関数とし、
Xの任意にのｘに対し、ｆ(x,a)がゼロでないを満たすとする。
このときYにふくまれるaの開近傍Uで
X×Uに含まれる任意の（x,y）に対し、ｆ(x,y)がゼロでない
を満たすものが存在することを示せ。

読みにくいと思いまずが、大阪大学の数学専攻の２００７年度の
問題です。

よろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp

X:コンパクト位相空間、Y:位相空間、a∈Y　とする。
f:X×Y→R(実数)を　連続関数とし,
X∋xに対し、f(x,a)≠0　とする。
このとき Y⊃U∋a　＆　U　は開集合　＆ ( (x,y)∈X×U→　f(x,y)≠0　)
となる　U　が存在することの証明

任意の　b∈X　に対して、
f(b,a)≠0　だから　|f(b,a)|>0　で　f　は連続だから
b∈V_b⊂X　,　a∈U_b⊂Y　で
　(x,y)∈V_b×U_b　→　|f(x,y)-f(b,a)|<|f(b,a)|/2　　となるような
bの開近傍 V_b　と　a　の開近傍　U_b　が存在する
(Y の開集合U_bはYの元aの近傍だがXの元bに関係して変化するのでU_bとしている事に注意!)

X=∪_{b∈X}V_b　で　X　コンパクトだから
X=∪_{1≦k≦n}V_{b_k}　となる　{b_k}_{1≦k≦n}⊂X　がある

U=∩_{1≦k≦n}U_{b_k} とすると
任意の　b∈X　に対して　a∈U_b　だから　a∈U
開集合の有限個の共通部分は開集合だから　U　は　開集合
(x,y)∈X×U　に対して　x∈V_{b_k} ,y∈U_{b_k} となる　b_k　があり
(x,y)∈V_{b_k}×U_{b_k}　だから　|f(x,y)-f(b_k,a)|<|f(b_k,a)|/2 　
0<|f(b_k,a)|/2<|f(x,y)|　だから　f(x,y)≠0

回答No.1

rnakamra

ヒントだけ。

X:コンパクト位相空間ですから、|f(x,a)|には最小値が存在します。
この最小値は0ではない値です。

この値をεとして、連続関数の定義に当てはめてみれば見通しが立つと思います。
わからなければ連続関数の定義を補足に書いた上でお知らせください。

補足

再度考えましたが、位相空間の連続性では距離空間の連続性とは違い
ε＞０を用いて表せないのではないでしょうか？

ｆがR（実数）への写像になっているので上のようなことが出来る
のでしょうか？

位相空間の連続性の定義はいろいろありますが、一般的なものは
Yの任意の開集合の逆像がXの開集合になることだと思います。

出来れば詳しい回答をお願いします。