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２次の正方行列の問題

数学素人です。ご教授下さい。 A＾２＝０を満たす２次正方正方行列Aを求めよ。ただしA＝０ではない。

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  • reiman
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回答No.6

入力ウィンドウが小さいのでどうしても書き間違いがでますね。 A= [a b] [c d] とすると A^2=0かつA≠0の条件は以下と同値 (条件1) a^2+bc=0 b(a+d)=0 c(a+d)=0 bc+d^2=0 a,b,c,dの少なくとも1つが0でない 1)bc=0のとき 条件1は以下と同値。 a=d=0かつb,cのうちいずれかが0でないこと すなわち xを0でない任意の数とすると、 Aは [0 x] [0 0] か [0 0] [x 0] である。 2)bc≠0のとき 条件1は以下と同値。 a^2+bc=0 a+d=0 これはさらに以下と同値 d=-a c=-a^2/b すなわち、 x,yを共に0でない任意の数とすると、 Aは [x　　　　y] [-x^2/y　-x] である。 1)と2)をまとめると、 xを任意の数としyを0でない任意の数として、 Aは [0 0] [y 0] か [x　　　　y] [-x^2/y　-x] のいずれか。

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その他の回答 (5)

  • reiman
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回答No.5

まだ、dと書くべき所をbと書いていた所があったので 方針を変えてもっと簡単に書くと A= [a b] [c d] とすると A^2=0かつA≠0の条件は以下と同値 (条件1) a^2+bc=0 b(a+d)=0 c(a+d)=0 bc+d^2=0 a,b,c,dの少なくとも1つが0でない 1)bc=0のとき 条件1は以下と同値。 a=d=0かつb,cのうちいずれかが0でないこと すなわち xを0でない任意の数とすると、 Aは [0 x] [0 0] か [0 0] [x 0] である。 1)bc≠0のとき 条件1は以下と同値。 a^2+bc=0 a+d=0 これはさらに以下と同値 d=-a c=-a^2/b すなわち、 x,yを共に0でない任意の数とすると、 Aは [x　　　　y] [-x^2/y　-x] のいずれか。 以上まとめると、 Aは xを任意の数としyを0でない任意の数として、 Aは [0 0] [y 0] か [x　　　　y] [-x^2/y　-x] のいずれか。

pozo1016
質問者

お礼

ご丁寧にご解説ありがとうございます。 展開して、２パターンで考えればよいのですね。 なるほどです。ありがとうございました。

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  • reiman
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回答No.4

x,yを共に0でない数とすると、Aは [0 x] [0 0] か [0 0] [x 0] か [x　　　　y] [-x^2/y　-x] のいずれか。 と同値な表現として以下の様にしてもよい。 xを任意の数としyを0でない数として [0 0] [y 0] か [x　　　　y] [-x^2/y　-x] のいずれか。

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  • reiman
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回答No.3

修正漏れ A= [a b] [c d] としてA^2の4成分を0としてみると a^2+bc=0…(1) b(a+d)=0…(2) c(a+d)=0…(3) bc+d^2=0…(4) となる。 a=0とすると(1)よりbc=0だから(4)よりd=0となりbcのどちらか一方のみ0。 同様にb=0とするとa=0となりbcのどちらか一方のみ0。 またb=0とすると(1)よりa=0となり、d=0となりA≠0だからc≠0となる。 同様にc=0とするとa=d=0,c≠0となる。 以上まとめると a,b,c,dのいずれかが0のとき、Aはx≠0としたとき [0 x] [0 0] か [0 0] [x 0] の形をしている。 a,b,c,dがいずれも0でないとき (1),(2),(3),(4)式は a+d=0 a^2+bc=0 と同値である。 よって x,yを共に0でない数とすると、Aは [x　　　　y] [-x^2/y　-x] である。 まとめると、 x,yを共に0でない数とすると、Aは [0 x] [0 0] か [0 0] [x 0] か [x　　　　y] [-x^2/y　-x] のいずれか。

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  • reiman
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回答No.2

単純書き間違い A= [a b] [c d] としてA^2の4成分を0としてみると a^2+bc=0…(1) b(a+d)=0…(2) c(a+d)=0…(3) bc+d^2=0…(4) となる。 a=0とすると(1)よりbc=0だから(4)よりd=0となる。 同様にb=0とするとa=0となる。 またb=0とすると(1)よりa=0となり、d=0となりA≠0だからc≠0となる。 同様にc=0とするとa=d=0,c≠0となる。 以上まとめると a,b,c,dのいずれかが0のとき、Aはx≠0としたとき [1 x] [0 1] か [1 0] [x 1] の形をしている。 a,b,c,dがいずれも0でないとき (1),(2),(3),(4)式は a+d=0 a^2+bc=0 と同値である。 よって x,yを共に0でない数とすると、Aは [x　　　　y] [-x^2/y　-x] である。 まとめると、 x,yを共に0でない数とすると、Aは [0 x] [0 0] か [0 0] [x 0] か [x　　　　y] [-x^2/y　-x] のいずれか。

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回答No.1

A= [a b] [c d] としてA^2の4成分を0としてみると a^2+bc=0…(1) b(a+d)=0…(2) c(a+d)=0…(3) bc+d^2=0…(4) となる。 a=0とすると(1)よりbc=0だから(4)よりd=0となる。 同様にb=0とするとa=0となる。 またb=0とすると(1)よりa=0となり、d=0となりA≠0だからc≠0となる。 同様にc=0とするとa=d=0,c≠0となる。 以上まとめると a,b,c,dのいずれかが0のとき、Aはx≠0としたとき [1 x] [0 1] か [1 0] [x 1] の形をしている。 a,b,c,dがいずれも0でないとき (1),(2),(3),(4)式は a+d=0 a^2+bc=0 と同値である。 よって x,yを共に0でない数とすると、Aは [x　　　　y] [-x^2/y　-x] である。 まとめると、 x,yを共に0でない数とすると、Aは [1 x] [0 1] か [1 0] [x 1] か [x　　　　y] [-x^2/y　-x] のいずれか。

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