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絶対値付き関数の問題
関数f(x)=|x-1|+|x+2|+|x-a|は、a=3の時に最小値□をとり、a=□(a=3ではない)ときも同じ最小値を取る。 この問題で最初の□はグラフを書いて5だとわかりました。しかし次の□が解説を読んでも全く理解できませんでした(答えは-4だと書かれています)。数学に詳しい方、基礎からの詳しい解説をお願いします。
- kantarou15
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f(x) = |x-p| + |x+q| + |x-r| (p<q<r) だと、p<q<r の部分がマズくて、係数の置き方が ちゃんと一般的になっていません。 だから変になるんじゃないですかね? よくわからんけど。
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- arrysthmia
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f(x) = |x-p| + |x-q| + |x-r| ただし p<q<r のグラフを考えて、最小値を求めてしまうと 見通しよいかも。 min = f(q) = r - p です。 p,q,r が 1,-2,a の場合は、a の大きさによって、 min = 1 - a (a<-2 のとき) min = 3 (-2<a<1 のとき) min = a + 2 (1<a のとき) となる。 後は、a = 3 に対する min を決めて、 同じ min をとる a を探す。 ここでも、min を a の関数と見て グラフを書くのが効く。
- ogakat2172
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先ほどの回答に補足です。 1≦aの場合はa=3が解となりますが,a≠3という条件がありますので(a=3以外の解を求めるという問題だからです)あのような書き方をしてしまいました。 また,-2≦a≦1ではx=aで最小値が3となってしまうので題意を満たしません。
- ogakat2172
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絶対値の中の正負は,それぞれx=1,-2,aで変化します。 したがって,aがどのような値をとるかでf(x)の最小値は変わってきます(グラフの形が変わるからです)。 具体的に1,-2という数字が出ているので,aがそれぞれ a≦-2,-2≦a≦1,1≦a の場合,どのようなグラフになるか考えてみましょう。 a≦-2のときはx≦-2まで減少関数になりますから, 最小値はx=-2でとることになります。 このとき,a≦x≦-2では f(x)=-(x-1)-(x+2)+(x-a)=-x-a-1 ですから,最小値は f(-2)=1-a となります。これを5だとすると, 1-a=5 なので a=-4(a≦-2を満たします) となります。 これで答えは得られますが,-2≦a≦1,1≦aの場合もそれぞれ同じようにしてご自身で解いてみてください。 これらの場合は,aの値が出ても-2≦a≦1,1≦aを満たさないことがわかります。 私自身非力でかえって理解しづらい回答になってしまいましたが,少しでもお力になれたなら幸いです。 勉強がんばってくださいね。
お礼
色々教えていただいてありがとうございます。
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