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モースポテンシャル
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おおまかな方針は、水素原子の波動関数や調和振動子の波動関数を求めるときと同じです。適当に変数変換して、既知の微分方程式に変形します。 モースの原著論文“Diatomic Molecules According to the Wave Mechanics. II. Vibrational Levels”Phys. Rev. 34, 57 - 64 (1929) http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.34.57 に詳しい導出過程が書いてあります。 日本語の教科書では、以下の二つに概略が書いてあります。 メシア量子力学 http://webcatplus-equal.nii.ac.jp/libportal/DocDetail?txt_docid=NCID%3ABN0007688X アイリング量子化学 http://webcatplus-equal.nii.ac.jp/libportal/DocDetail?txt_docid=NCID%3ABN01788478 いずれにしても、水素原子の波動関数や調和振動子の波動関数を求めるときと同じように、かなりめんどくさい作業です。化学系の学部学生なら、ウィキペディア英語版に書いてある程度のことを知っていれば十分じゃないかなあと思います。
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> ちなみに厳密解はどのような形になればよいのでしょうか？ シュレーディンガー方程式 -(h^2/8π^2μ)ψ'' + V(r)ψ = Eψ のポテンシャルV(r)を、モースポテンシャル V(r) = D exp(-2a(r-ro)) - 2D exp(-a(r-ro)) としたときの固有関数の形は ψn=exp(-z/2)・z^(b/2)・L(n,b,z) ……(1) のようになります(規格化は面倒なので省きました)。ただし z=2d exp(-a(r-ro)) d=(2π/ah)sqrt(2μD) -b^2/4=(8π^2μE/(ah)^2) のように、変数 r を変数 z で表し、ポテンシャルの深さ D をパラメータ d で、エネルギー E をパラメータ b で表しています。量子数 n は d,b と n=d-b/2-1/2 ……(2) の関係があり、束縛状態であるためには E<0 でなくてはなりませんから、n は 0≦n＜d-1/2 をみたす整数値になります。 L(n,b,z)は、微分方程式 zL'' + (b+1-z)L' + n L = 0 の解で、一般化ラゲール多項式(generalized Laguerre polynomial) http://en.wikipedia.org/wiki/Laguerre_polynomials#Generalized_Laguerre_polynomials と呼ばれるものです。 固有関数ψnをグラフに書くのなら、dとnを固定して式(2)からbを求めて、式(1)に z=2d exp(-x) を代入し、ψnをxの関数としてプロットすればいいです。
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詳しく説明していただきありがとうございました。
モースポテンシャルの形はこれ、↓のpp26 (4-1)にあります。 http://www.kochi-tech.ac.jp/library/ron/2001/ele/1020245.pdf ただし、これから波動関数を厳密には求まりません。 厳密とは「解析的」に求めることです。
お礼
ありがとうございました。 ちなみに厳密解はどのような形なのですか？
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