無限の濃度に関する問題

質問

雑誌、Newton別冊「ゼロと無限の科学」で扱われている内容に、以下のようなものがあります。
（文章は適当に削ったり、変えたりしています）

・問題設定
無限に広い平面があり、その平面には正方形の格子模様が書かれている、その正方形の格頂点には垂直に、太さがない棒が立てられている。
今、1つの頂点から、ある方向へ光線を発射する。
この光線は、いずれかの棒にぶつかるだろうか？
また、光線も太さのないものとする。

・Newtonの解答
問題を単純化するために、xy座標と、格子点（x,yともに整数であるような座標）を考え、
原点から光線を発射するものとする。
そうすると、光線の道筋は1次関数y=axで表せる。
このとき、傾きaが有理数であれば、何かしらの格子点を通ることになる。
たとえば、a=2/3であれば、(3,2)という点を通る。
だが、傾きaが無理数であれば、いかなる格子点も通ることはない。
つまり、ある実数aを無作為に選んだとき、それが有理数か無理数であるか。という問題に帰着できる。

ここで、有理数の個数はアレフゼロの無限であり、無理数の個数はアレフワンの無限である。
これは無理数の個数が圧倒的に有理数より多いことを示している。
（有理数より無理数の方が圧倒的に多いことは前のページで述べられています）
つまり、光線は、直感に反し、ほぼ100%の確率で、棒にぶつかることなく無限の彼方に飛んでいくことになる。

これがNewtonに書かれていることなのですが、
最後の「ほぼ100%の確率で」というところが引っかかります。
ほぼ100%といいますが、具体的に確率は計算できないのでしょうか？
（恐らくできないから、具体的な数値が書いてないのだと思いますが・・・）
高校レベルの数学しか理解してないのですが、
この程度の知識でこの問題に答えは出せますか？

回答No.5

noname#95312

棒の数はアレフ0、と考えてよいのでしょう。
> 傾きaが無理数であれば、いかなる格子点も通ることはない。
この場合は、100% 棒にぶつからない。
> 傾きaが有理数であれば、何かしらの格子点を通ることになる。
この場合は、棒にぶつかる。

光は、そのどちらかの傾きの方に飛ぶ。
従って、ぶつかることのない確率は100%ではない。