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微分方程式の平衡点
Akira_Ojiの回答
- Akira_Oji
- ベストアンサー率57% (45/78)
[1] まず、Info22さんの回答で2つの平衡点があるとのことですが、zとyは濃度ですからz>0、y>0となる解だけ考えればよい。 [2] 次に、簡単な例として「バネについた質点mの振動」について考える。 バネ定数をkとすれば、運動方程式は m(d^2x/dt^2)=-kx (1) xは平衡点からの変位、かっこ内は加速度「a」ですが、xのtによる2回微分です。速度vはxのtによる1回微分ですから、 v=dx/dt (2) です。したがって、(2)の両辺をtで微分したものが加速度「a」になっています。 dv/dt = d^2x/dt^2 (=a) (3) (1)は(3)を使って、 m dv/dt=-kx dv/dt=-(k/m)x (4) また、(2)は左右を入れ替えて dx/dt=v (5) (4)と(5)を合わせるとあなたの微分方程式の組に似ていますね。 dv/dt=-(k/m)x (4) dx/dt=v (5) さて「平衡点」は dv/dt=0, dx/dt=0となる点ですから、x=0とv=0が出てきます。 kとmは正の定数でした。横軸をx、縦軸をvと考えると、(x,v)=(0,0)はx-v平面の原点です。いまの場合原点が「平衡点」になっています。x=0は元々バネ振動の「平衡点」でした。x=0でv=0のときはそこで止まっているということです。もし、少しだけバネを引っ張っても元に戻るので「安定な平衡点」であるのが分かります。 ここで、xとvを位置座標のように考えてx-v平面上での動きを考えるとdx/dt と dv/dt はそれらの「速度成分」のようなものです。あなたの言われていた「すこしずれたところで」安定性を考えます。 原点の右:(x,v)=(1,0)では dx/dt=0, dv/dt=-(k/m) ---> 下向きヴェクトル 原点の下:(x,v)=(0,-1)では dx/dt=-1, dv/dt=0 ---> 左向きヴェクトル 原点の左:(x,v)=(-1,0)では dx/dt=0, dv/dt=+(k/m) ---> 上向きヴェクトル 原点の上:(x,v)=(0,1)では dx/dt=1, dv/dt=0 ---> 右向きヴェクトル 従って、少しずらすと、平衡点のまわりをぐるぐる回って離れていきません。 [3] あなたのシステムでは dy/dt=c/(a+lz)-ky (6) dz/dt=ey-fz (7) 平衡点は c/(a+lz)-ky=0 (8) ey-fz=0 (9) の解で二次方程式になりますが、2つのうち1つは正、もうひとつは負ですから、正のyとzとなるように選びます。それらを(y,z)=(y0,z0)とします。 y0=[-ak+√{(ak)^2+4(lek/f)c}]/(2lek/f) (10) z0=[-ak+√{(ak)^2+4(lek/f)c}]/(2lk) (11) と複雑になりますが、(8)と(9)満足しています。[2]でやったように、(y0,z0)より少し右、下、左、上の点で(6)、(7)の右辺をみてみますと、(反対回りですが)(y0,z0)のまわりをぐるぐると回っているようですので、安定な平衡点のようです。 例えば、(y0,z0) の右の点 (y0+1,z0)ではdy/dt=-k, dz/dt=+e となって左斜め上という具合です。他の点でも確かめてください。
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とても、わかりやすい解答ありがとうございました。 わざわざ、バネの例までつけてくださってわかりやすかったです。 本当に感謝しています。 ありがとうございます。