区体論

質問

http://hp.vector.co.jp/authors/VA011700/math/welc.htm
区体論は集合論の代替になるものと期待していますが、
実は、集合論から区体論を構成できると思いました。
(公理9は開区間(a,b)の集合全体を考えれば、いいと思います。)
それでも、区体論の価値はあると思います。
それはまさしく、余計なことをできなくすることです。
余計なことの一例は、べき集合をどんどん構成していき、どこまでも高い濃度の集合を作ることなどです。
そうすることで、扱う対象を明確にできると考えます。
ところで現実問題として、連続濃度以上が必要になる具体的な問題があるのでしょうか？

回答No.13

noname#130082

考えながら回答している上に、自分の回答も自由に削除できないシステムのため、たびたびの回答になってしまいます。すみません。

私は区体論に否定的なので今まで否定的な回答になりましたが、No4.さんのおっしゃることももっともなので、肯定的に考えてみました。

公理１～８＋公理10を考えると、公理10で述語論理（厳密には一階述語論理。２階以上では区体論のポリシーに反する）の性質を使うことができるため、おそらく「公理10の一階述語論理を導入すれば、一階述語論理と同程度のものができるだろう」と思われます。No.1さんも、区体論が束の一種だということも、つまらない束があるからといって、束の理論が役に立たないとはいえない、ということは同意されると思います。また、何の公理も付加しない述語論理では相異なる元の存在は証明できないことも。ただし、区体における外延性
（★）区体A,Bに対して、（任意のアトムxに対してx@A⇔y@B）ならば、A=B、
が成り立てば、の話ですが（私にはまだ証明も反証もできてません）。
（★）が成り立てば、たぶん区体論＋公理10は一階述語論理と同程度の内容を持っていると思われます。だから、まったく駄目とまでは言えないかも。区体論の目的に沿うものとして一階述語論理がすでにある、ということを除けば。
ただし、ペアノの公理だけでは、集合論の無限集合の公理よりは弱いです。ωをアトムとして扱えるところまでいって、はじめて無限集合の公理と比較できます。

では、公理10を除いた区体論はまったくの無内容か、というと、モデルとして例えばR^nの部分線形空間全体からなる束（補集合のかわりに直交補空間を考える）を考えることができます。アトムは1次元部分空間です。R^nのかわりに複素ヒルベルト空間を考えると、このような種類の束は量子論理のモデルとしてさかんに研究されているはずです。
ただし、何しろandとorに関する分配律さえ満たされないので、公理10は成り立たず、ブール代数より弱いために研究は困難らしいです。まあ、公理10の「（一階）述語論理」のかわりに「一階述語量子論理」（ただし私のような素人では手も足も出ない非常に難解なしろもの）をもってくれば、あるいは・・・という感じでしょうか。
ということで、まあ、数学者の間ではとっくの昔に散々研究されているものではあるが、とにかくよく研究されている束も含んでいる、という意味で、このような話の中ではよくできているもの、ではないかと思います。