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log(1-z)が正則か分からなくて困っています。
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#1お礼へ。 複素数wからzへの対応に関し e^(w+2πn√(-1) ) = 1-z が、n=0,±1,±2,...,について成り立っているために、これを逆にzからwへの対応とみた場合、 w+2πn√(-1) = log(1-z) となってしまうことが、log(1-z)が無限多価関数と解釈せざるをえない原因でした。これを無理やり1価関数として扱うために、zの定義域を拡張して(偏角を一般角に拡張したように)、それぞれのnに対応するように、z側の複素数平面を複数枚用意し、それらを接続したものを考える、というのがリーマン面のアイデアでした。 このときの1-zの偏角のとり方(分枝切断)は、なにも[0, 2π]に限らず、[-π, π]など、点z=1から伸びるどの半直線で切断しても一向にかまわないです。ただ、1-zの偏角に応じて定まるリーマン面の葉の表示が、[-π+2πn, π+2πn]などと変わるだけです。zがどの葉に属するかに応じて、log(1-z)の主値に定数2πn√(-1)が加わるということです。
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- 21MM392
- ベストアンサー率50% (1/2)
この場合log(1-z)の特異点はz=1で、それ以外で正則ですから、z=0の周りの積分を行うときは、Re z >1で分枝切断すれば、|z|<1でlog(1-z)はべき級数に展開可能です。 {log(1-z)}/z = (z+z^2/2+z^3/3+...)/z = 1+z/2+z^2/3+... で、特異点z=0が除去できました。つまり、被積分関数は|z|<rで正則になっていて、コーシーの積分定理から、積分値は0になります。
お礼
素早い回答ありがとうございます。 問題とは直接関係ないのですが、関連して新たに疑問がわきました。 質問の問題とは関係なくlog(1-z)だけを考えたとき、Re z >1で分枝切断するとlog(1-z)は[0 2π]ごとにリーマン面がとれる無限多価関数になるのですか?また、分枝切断はほかのところでもよいのですか?その場合、どのようにリーマン面をとればよいのでしょうか? すみません、基本的なことだとは思うんですけどわからないので、回答お願いします。
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