因数分解

質問

(Ｘ－Ｚ)3＋(Ｙ－Ｚ)3－(Ｘ＋Ｙ－２Ｚ)3
が分かりません。

Ｘ－ＺをＡ、Ｙ－ＺをＢ、－Ｘ－Ｙ＋２ＺをＣとおいて、
Ａ3＋Ｂ3＋Ｃ3、
ａ3＋ｂ3＋ｃ3－３ａｂｃ＝(ａ＋ｂ＋ｃ)(ａ2＋ｂ2＋ｃ2－ａｂ－ｂｃ－ｃａ)という公式を使うために、
Ａ3＋Ｂ3＋Ｃ3－３ＡＢＣ＋３ＡＢＣとして、＋３ＡＢＣを後ろに置いて公式を当てはめる所までは分かってます。
でもそこから先が全くわかりません。
答えは－３(Ｘ－Ｚ)(Ｙ－Ｚ)(Ｘ＋Ｙ－２Ｚ)で、半角数字は三乗です。

ご回答宜しくお願いします

回答No.2

nattocurry · ベストアンサー

a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)
なので、
a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) + 3abc
になります。

(X - Z)^3 + (Y - Z)^3 - (X + Y - 2Z)^3
= (X - Z)^3 + (Y - Z)^3 + (- X - Y + 2Z)^3
として、
X - Z = a
Y - Z = b
- X - Y + 2Z = c
とおいた場合、
a + b + c = 0
なので、
(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0
になります。
よって、
a^3 + b^3 + c^3
= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) + 3abc
= 3abc
です。

お礼

あっ、そういうことでしたか！
分かりました！ありがとうございましたｗ

回答No.1

Tacosan

A+B+C はいくつ?

お礼

０ですｗｗだからきえて、残った＋３ＡＢＣを展開するんですね。
ありがとうございました。