- ベストアンサー
オイラーの公式を用いてsin(-θ)=-sinθを証明
学校で「複素数とその演算」の勉強をしています。 オイラーの公式を用いて sin(-θ)=-sinθ が成立することを確かめたいのですが。 (ie^(iθ) - ie^(-iθ))/2 まではわかります。 その次に、回答をみると、分子のiが消えて、分母が2iになっているのですが、この意味がまったくわかりません。 アドバイスよろしくお願いいたします！
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数0
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
＞分子のiが消えて、分母が2iになっているのですが、 それはただ分母分子にiをかけただけではないですか？
その他の回答 (1)
- Akira_Oji
- ベストアンサー率57% (45/78)
Eulerの公式より e^(+iθ)=cosθ+isinθ (1) e^(-iθ)=cosθ-isinθ (2) (1)+(2): {e^(+iθ)+e^(-iθ)}=2cosθ これより cosθ={e^(+iθ)+e^(-iθ)}/2 (3) (1)-(2): {e^(+iθ)-e^(-iθ)}=2isinθ これより sinθ={e^(+iθ)-e^(-iθ)}/2i (4) この最後の式(4)より,θ-->-θの置き換えをして、 sin(-θ)={e^(-iθ)-e^(+iθ)}/2i =-{e^(+iθ)-e^(-iθ)}/2i =-sinθ
関連するQ&A
- オイラーの公式の用い方
オイラーの公式とド・モアブルの定理を利用して３倍角の公式を証明せよ。という問題のなのですが、私にはオイラーの公式の出番がないように思えます。。。 ド・モアブルの定理 (cosθ+i×sinθ)^n=cosnθ+i×sinnθ でｎ＝３にして実部と虚部を比較するのではだめなのでしょうか？？ 一応。。。 オイラーの公式 e^iθ＝cosθ+i×sinθ
- ベストアンサー
- 数学・算数
- オイラーの公式を用いて回答せよ。
オイラーの公式を用いて回答せよ。 複素数3+4iを指数関数Aeのix乗 の形式で示せ。 大学の課題で一時間後に提出です。教えて下さいお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- オイラーの公式を使う問題
Rn=1+(1/2)cosθ+(1/2^2)cos2θ+・・・+(1/2^n)cosnθ(0<=θ<=2π)とする。 任意の実数αに対して、オイラーの公式：e^iα=cosα+i*sinα(iは虚数)が成立することを 用いて極限lim(n→∞）Rnを求めよ。 という問題をどのように解くかが全くわかりません 教えていただきたいです よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- オイラーの公式が生まれる発想の原点は？
オイラーの公式 exp（iθ）＝cosθ＋isinθ はどのような発想から生まれたのでしょうか？ 自然対数の底と三角関数を結びつけた非常にユニークな公式と思います。この公式が生まれる発想の原点は何だったのでしょうか？ 今高校レベルの複素数を独習していますー現指導要領では範囲外ですが…。そこでこの公式が取り上げられていました。 宜しくお願いします。
- 締切済み
- 科学
- オイラーの公式と微積分の関係
sinとcosは微積分において，ちょうどガウス座標での回転に一致しているそうですが，このこととオイラーの公式とはどのようにつながっているのでしょうか。sin をｉとおくかcosをｉと置くのかわかりませんが、不思議な感じがします。］
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素数について
先ほどまで別の質問を立てていたのですが 質問分の訂正等色々あったので立て直しました。 一つ断っておきたいのは複素数を授業で習い終えたのですが 最初から最後までちんぷんかんぷんでした。 通信制のスクーリング授業（大学）だったためというのがあります。 その前に三角関数やベクトルを習いましたが、そこからついていけていませんでした。 なので、下記に記す質問以外の事は回答頂いてもついていけませんのでご了承ください。 （なら質問するなって話なのですが、疑問点があるもので） 複素数の四則演算の公式で a+bi ---- c+di （分数って事で…) (a+bi)(c-di) =---------- (c+di)(c-di) ac+bd bc-ad = ----- + ------i c^2+d^2 c^2+d^2 がありますが、それまでの複素数の所も分からなかったのですが 問題でこの公式に当てはめるものがあり、単純に当てはめれば解けるのではと思い 結局間違えてしまった問題があります。 それが以下の問題と私の解き方です。 2+3i ---- 1-2i (2+3i)(1+2i) =---------- (1-2i)(1+2i) 2+6 3-4 =--- + ----i 1-4 1-4 =-3i 答え合わせの結果から単純に符号を間違えたことによる答えの相違だというのは分かっています。 こういう符号の使い方になったのは こういう考え方してはいけないの分かっているのですが 公式と問題を比べて、分子は公式と同じプラスだからそのまま 分母は公式と違ってマイナスだから公式と反転させてという考え方をしました。 この点に関して理解できないとの回答を以前頂きましたが 自分でもなんとなくこういう考えは複素数ではしてはいけないという事は分かってはいました…。 （中3ぐらいまでならこういう考え方で成立する公式ばっかりでしたので、こういう感じになりました） で、この公式は有理化で解く事も教わりました。 質問点としては １．この公式は分母を有理化して、そこからは普通に展開をして解いていくということですか？ ２．答え合わせの結果の途中式の一部がノートに書き忘れており、分からないのですが (1-2i)を分子と分母に掛ければ正解になったのですか？ （(1+2i)を掛けるのが間違いなのは自分の解いた結果からも分かっているのですが、1-2iを掛けても有理化になるのですか？） 1-2iを掛けてみたところ 2-i-6i^2 --------- 1-4i+4i^2 となりましたが、これをどう答えに導くのかが分かりません。 i^2の対処法が特に分かりません。 最終的な答えにはiしか無いので。 長文・乱文すみません。 回答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- マクローリン展開の問題です
1 指数関数f(x)＝exp(x)＝ezをベキ級数展開（マクローリン展開）で表示しなさい。 2 前記のexp(x)において、ｘが複素数のiθ の場合、これを代入し、べき乗すれば、右辺の級数の値（複素数）の実部と虚部が求められる。次にsinθとcosθのマクローリン展開を行ない、実部がcosθ、虚部がsinθの展開に一致することを示せ。(オイラーの公式exp(iθ)＝cosθ＋i・sinθが成立することがわかる)。 但し、少なくとも第3項まで書き、あとは・・・でよい。 回答と解説をおねがいします
- 締切済み
- 数学・算数
- 組み合わせの公式について教えて
久しぶりに数学勉強してます。 組み合わせの問題は公式を使えば簡単にできるのですが、 なんで組み合わせの公式は分母と分子になってるのかわかりません。 なにかこの公式を理解できる方法ありましたらおしえてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
