ε-N論法

質問

大学の授業で「限りなく近づくと、近づくが限りなくは近づかないの違いをε-N論法に則って説明せよ。」という課題がでました。

誰かしっかりした答えを教えて下さいーm(__)m

回答No.1

arrysthmia

数列 a[n] が、n→∞ のとき α に「限りなく近づく」とは、
∀ε>0, ∃N, n＞N ならば | a[n] - α |＜ε のこと。

a[n] が、n→∞ のとき α に「限りなくは近づかない」とは、
それの否定で、
∃ε>0, ∀N, n＞N かつ | a[n] - α |≧ε のこと。

ここまでは、ε-N 論法の基本。

「近づくが限りなくは近づかない」の「近づくが」は、
あまり普通の言い方ではないが、おそらく、
| a[n] - α | が n について単調減少になることを言っている
のだと思う。すなわち、
∃N, m＞n＞N ならば | a[m] - α |＜| a[n] - α |。