数列について再度教え下さい。

質問

以前数列について質問をさせて頂いたのですが、質問の仕方が悪かったので
再度質問させて下さい。

－１２，－３，０，１，２，５，１４，

この数列を１つの一般式であらわすことが出来ますか？
（以前頂いた回答は条件がついた２つの式であらわされていました。）

よろしくお願いいたします。

回答No.3

samugari · ベストアンサー

前回の解答に手を加えておきます。※の行と≪から≫の部分を付け加えました。
考え方は、ｎに無関係な1/2と3/2の真中と3^|n－4|の前に1がつくのか、-1が着くのかということです。なお、3.5でなくても代わりに3と4の間の数なら何でもＯＫです。

他の回答者と同様に、階差数列を取って考えますが、
以下のように、nが４以下のときと、４以上のときにわけて考えたらどうでしょう。
第ｎ項をa(n) 、
また、a(1)+a(2)+a(3)+…+a(n)を[k=1:k=n]Σa(k) であらわします。

a(n+1)－a(n) = 3^|n－4|である。

2≦n≦4のとき、　a(n+1) － a(n) = 3^(4－n)　なので、
　a(n) ＝ a(1) + [k=1:k=n－1]Σ3^(4－k) = {3－3^(4－n)}/2
＝1+(1-3^|n－4|)/2　　　　　　　　　　　　　　　　　　※
これは、n=1のときも成り立つ。

n≧4のとき、a(n+1) － a(n) = 3^(n－4)　なので、
　a(n) ＝ a(4) + [k=4:k=n－1]Σ3^(k－n) = {3^(n－4)+1}/2
　　　　＝1-(1-3^|n－4|)/2　　　　　　　　　　　　　　　　　　※

≪ここで、k=|3.5－ｎ|/(3.5－ｎ)
　　　　α＝(-1)^k
とおきます。
すると、　a(n) ＝1+｛α*(1-3^|n－4|)｝/2 　　≫
これで、如何でしょう。
ただし、a(n) を一つの一般式であらわす方法は、これ以外にもありそうです。
要するに、1≦ｎ≦4の場合に、1、4≦ｎの場合に-1となる式をみつけさえすればよいわけです。
それにしても、私にとってのなぞは、なぜ、一つの式にしたいのか？です。
ふ～ん、知りたい。

お礼

回答ありがとうございました。

１つの式にしたいのは・・・
質問した人に１つの式になると言われたからなんです。

つまらない理由ですみません。

回答No.2

ryn

No.1 です。

数列 b_n は
　9,3,1,1,3,9,…
ではなく、
　2,1,0,0,1,2,…
でした。

回答No.1

ryn

以前の回答にもあるように階差をとると
　9,3,1,1,3,9,…
のようになっています。

これからわかるように、３項目までと４項目以降で
分けたほうがきれいになるような気もしますが、
あえて１つの式で表すなら、
　b_n = [ |n - 7/2| ]　　　　([x]はガウス関数でxを超えない最大の整数。)
という数列を考えると、この数列が
　9,3,1,1,3,9,…
となっています。

したがって、ご質問の数列は
　a_n = -12 + Σ3^{b_k}
　　　= -12 + Σ3^{ [|k - 7/2|] }
とあらわせます。
ここで、Σ記号は 1≦k≦n-1 までの和です。

１つの式で表すならΣ記号が残ってしまい、
ある程度きれいな形で書くなら２式になるといったところでしょうか。

お礼

回答ありがとうございました。
ガウス関数というのは初めて知りました。