確率（数列）の問題

質問

春休みの課題で確率と数列の問題が出されて解いていたところ、その中の一つが答えは無理矢理出せたのですがその答えに至る過程を説明できないのでこの場で教えていただきたいです。

その問題↓
aを2以上の自然数とする。長さaの線分ABを数直線上で移動させる次のようなゲームを考える。さいころを投げて出た目が2以下ならば正の方向(右)へ1だけ、そうでなければ負の方向(左)へ1だけ、線分を移動させる。これを繰り返して、どちらかの端点が原点Oに達したときにゲームは終了する。
nを0<n<aを満たす自然数とする。線分の左端Aが初めは座標-nの位置にあり、Aが原点Oに達してゲームが終了する確率をp[n]とする。また、p[0]=1、p[a]=0とする。
(1)p[n]をp[n-1]とp[n+1]を用いて表せ。
(2)確率p[n]を求めよ。

(1)はp[n]=(1/3)p[n-1]+(2/3)p[n+1]と出せました。こっちは二つの場合が排反であることを利用して解けました。
(2)が分かりません。(1)を二通りに変形して
p[n+1]-(1/2)p[n]=p[n]-(1/2)p[n-1]
p[n+1]-p[n]=(1/2)(p[n]-p[n-1])
として
p[n+1]-(1/2)p[n]=p[1]-(1/2)p[0]
p[n+1]-p[n]=(p[1]-p[0])(1/2)^n
まで求めてやったんですが
p[1]の値の求め方(記述の仕方)が分からないので、書くことができません。
一応、a=2,3,4,5,6の場合で漸化式とp[0]=1、p[a]=0をもちいて
p[1]を考えて求めたところ、p[1]={2^(a-1)-1}/(2^a-1)となりそうなので
それで最後まで計算してみると、答えがちょうど良くなりました。
聞きたいことは、p[1]の値の求め方です。自分のやり方だと一般性がないので、
一般性のある解答の仕方が知りたいです。
よろしくおねがいします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

p[n+1]-(1/2)p[n]=p[1]-(1/2)p[0]
p[n+1]-p[n]=(p[1]-p[0])(1/2)^n
の 2つから p[n] を p[0], p[1], n の式で書くと
p[n] = p[1] {2 - 1/2^(n-1)} - p[0]{1 - 1/2^(n-1)}. ここで p[0] = 1, p[a] = 0 を代入すると
0 = p[a] = p[1] {2-1/2^(a-1)} - {1-1/2^(a-1)}
より p[1] が求まりますよね.

お礼

ああ！なるほど。
まったく気づきませんでした。
ありがとうございます！