分数式

質問

以下の画像のような分数式を計算する問題です。
制限時間が１分で解かなければならないのですが、どうしても地道に通分して…というやり方しか思いつきません(1分以内に終わらない・・・)

１分で解けるようなやり方を教えてください

回答No.1

proto · ベストアンサー

元の式がサイクリック(巡回的)な形をしているので、普通に展開しても1分でいけますよ。

まず分母は全ての項の分母掛けて、(x+y)(y+z)(z+x)で決まり。
これ以降分子の事だけ考えます。ここま1秒。

分子を書き下すと
　　(x-y)(x+y)(z+x) + (y-z)(y+z)(x+y) + (z-x)(z+x)(y+z)
になるんだけど、まずは第1項目だけの事を考えて展開します。
他の項のことは最初から考えない。
なぜなら、x→y、y→z、z→xと書き換えることで2項目の展開式が得られる、もう一度同じように書き換えることで3項目の展開式が得られるから。

1項目を展開する、
　　(x-y)(x+y)(z+x) = (x^2-y^2)(z+x)
これはよくある公式だから即座にやって欲しい。ここまで5秒。
さらに
　　(x^2-y^2)(z+x) = zx^2 + x^3 - y^2z - xy^2
ここで間違えないように丁寧に展開。ここまで10秒。

これで1項目が展開できたから、1項目の形を見ながら2,3項目も展開。
ポイントは全ての式を横並びに書くのではなく、2項目,3項目の展開式は縦並びに書くこと
　　zx^2 + x^3 - y^2z - xy^2
　　xy^2 + y^3 - z^2x - yz^2
　　yz^2 + z^3 - x^2y - zx^2
この式全体を見渡せば、どの項が打ち消し合って、どの項が残るのかすぐに分かるだろう。ここまで20秒。

残る項だけ書き出せば、
　　x^3 - y^2z
　　y^3 - z^2x
　　z^3 - x^2y
これで分子が分かったから展開は終わり。ここまで30秒。

答えは
　　(x^3+y^3+z^3-y^2z-z^2x-x^2y)/((x+y)(y+z)(z+x))
答え書くところまで入れて40秒くらいかなぁ。
落ち着いてやればいけるけど、焦ったら終わりな問題ですね。